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第一次數(shù)學危機,第一次數(shù)學危機是怎么回事

來源:整理 時間:2023-03-13 16:25:56 編輯:好學習 手機版

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1,第一次數(shù)學危機是怎么回事

第一次數(shù)學危機:無理數(shù)的發(fā)現(xiàn) 大約公元前5世紀,不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究,把幾何、算術、天文、音樂稱為"四藝",在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認為:宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比(不可通約)的情形,如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條,導致了當時認識上的"危機",從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。 到了公元前370年,這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法,出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數(shù)學危機對古希臘的數(shù)學觀點有極大沖擊。這表明,幾何學的某些真理與算術無關,幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示,反之卻可以由幾何量來表示出來,整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖,而幾何學的身份升高了。危機也表明,直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演譯推理,并由此建立了幾何公理體系,這不能不說是數(shù)學思想上的一次巨大革命!

第一次數(shù)學危機是怎么回事

2,第一次數(shù)學危機是什么

第一次數(shù)學危機─無理數(shù)的由來 公元前500年,古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學派的弟子希勃索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實,一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的(若正方形邊長是1,則對角線的長不是一個有理數(shù))。這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學派領導人惶恐、惱怒,認為這將動搖他們在學術界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最後競遭到沉舟身亡的懲處。 不可通約的本質(zhì)是什麼?長期以來眾說紛壇,得不到正確的解釋,兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數(shù)。15世紀意大利著名畫家達芬奇稱之為“無理的數(shù)”,17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。 然而,真理畢竟是淹沒不了的,畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者,就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”這便是“無理數(shù)”的由來。
第一次數(shù)學危機 從某種意義上來講,現(xiàn)代意義下的數(shù)學,也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學,來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派,興旺的時期為公元前500年左右。他們認為,“萬物皆數(shù)”(指整數(shù)),數(shù)學的知識是可靠的、準確的,而且可以應用于現(xiàn)實的世界,數(shù)學的知識由于純粹的思維而獲得,不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗。 整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中,不僅要計算單個的對象,還要度量各種量,例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要,就要用到分數(shù)。于是,如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商,那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分數(shù),所以對于進行實際量度是足夠的。 有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上,標出一段線段作為單位長,如果令它的定端點和右端點分別表示數(shù)0和1,則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù),正整數(shù)在0的右邊,負整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分數(shù),可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是,每一個有理數(shù)都對應著直線上的一個點。 古代數(shù)學家認為,這樣能把直線上所有的點用完。但是,畢氏學派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn):直線上存在不對應任何有理數(shù)的點。特別是,他們證明了:這條直線上存在點p不對應于有理數(shù),這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對應這樣的點,并且因為這些數(shù)不可能是有理數(shù),只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),是畢氏學派的最偉大成就之一,也是數(shù)學史上的重要里程碑。 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),引起了第一次數(shù)學危機。首先,對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學,這是一次致命的打擊。其次,無理數(shù)看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的,因為與直觀相反,存在不可通約的線段,即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的,所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上,這樣,他們的關于相似形的一般理論也失效了。 “邏輯上的矛盾”是如此之大,以致于有一段時間,他們費了很大的精力將此事保密,不準外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出,面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約,并對每一種情況都單獨予以了證明。隨著時間的推移,無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實。

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