第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是怎么回事

來源：整理時(shí)間：2023-03-13 16:25:56 編輯：好學(xué)習(xí) 手機(jī)版

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1，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是怎么回事
2，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是什么

1，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是怎么回事

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn) 大約公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的"危機(jī)"，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。到了公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動(dòng)搖，而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是怎么回事

2，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是什么

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)─無理數(shù)的由來公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟子希勃索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的(若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個(gè)有理數(shù))。這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最後競遭到沉舟身亡的懲處。不可通約的本質(zhì)是什麼？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個(gè)不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”這便是“無理數(shù)”的由來。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來源予古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。它是一個(gè)唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右。他們認(rèn)為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界，數(shù)學(xué)的知識(shí)由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗(yàn)。整數(shù)是在對于對象的有限整合進(jìn)行計(jì)算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計(jì)算單個(gè)的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時(shí)間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點(diǎn)的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點(diǎn)用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點(diǎn)。特別是，他們證明了：這條直線上存在點(diǎn)p不對應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對應(yīng)這樣的點(diǎn)，并且因?yàn)檫@些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識(shí)似乎相矛盾。在幾何上的對應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因?yàn)榕c直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個(gè)同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。 “邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時(shí)間，他們費(fèi)了很大的精力將此事保密，不準(zhǔn)外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨(dú)予以了證明。隨著時(shí)間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實(shí)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是什么