向量知識點(diǎn)與公式總結(jié)，平面向量解題技巧

來源：整理時間：2023-09-26 18:44:02 編輯：好學(xué)習(xí) 手機(jī)版

本文目錄一覽

1，平面向量解題技巧
2，平面向量基本定理
3，數(shù)學(xué)關(guān)于向量的問題思路步驟呦
4，平面向量的所有公式
5，空間向量的重點(diǎn)難點(diǎn)以及擴(kuò)展知道點(diǎn)
6，平面向量的基礎(chǔ)知識具體點(diǎn)

1，平面向量解題技巧

注意體會課本上的知識，其實(shí)每一道題都是用書上的基本知識來解答的。另外還要鍛煉自己的空間想象力，對每道題型行總結(jié)。建立屬于自己的知識體系。

基本的原則就是方程的思想，可以選取一組基底表示一對共線向量，解方程；也可以用（1-λ)oA+λoB=op 兩組解方程 (均表示向量）

平面向量解題技巧

2，平面向量基本定理

向量OP=ON+NP= ON +mNB(因?yàn)橄蛄縉P與向量NB共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)m,使得NP =mNB)=3a/4+m(OB-ON)=3a/4+m(b-3a/4)=(3/4-3m/4)a+mb.另一方面，因?yàn)橄蛄縊P與向量OM共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)n,使得OP =nOM,向量OP =nOM=n(OA+AM)= n(OA+2AB/3)= n(OA+2/3(OB-OA))= n(1/3OA+2/3OB)=n/3a+2n/3b.綜上可知：向量OP=(3/4-3m/4)a+mb=n/3a+2n/3b.所以3/4-3m/4=n/3，m=2n/3，解得m=3/5,n=9/10.∴向量OP= n/3a+2n/3b=3/10a+3/5b.

平面向量基本定理

3，數(shù)學(xué)關(guān)于向量的問題思路步驟呦

1)ab=(x-1)(x-m)-y=0, ∴y=(x-1)(x-m)=x^2-(m+1)x+m 2)∵ABC為銳角三角形, ∴tana>0,tanb>0,tanc>0 tana,tanb為方程x^2-(m+1)x+m+4=0兩根方程有根△=(m+1)^2-4(m+4)=m^2-2m-15=(m+3)(m-5)>=0, m>=5或m<=-3① ∴tana+tanb=m+1>0,tanatanb=m+4>0 ∴m>-1② tanc=tan(180-a-b)=-tan(a+b)=-(tana+tanb)/(1-tanatanb)=-(m+1)/(1-(m+4))>0, m>-1或m<-3③ 由①②③得 m>=5 3)條件等價于對任意x若1<=x<=3則有f(x)<=0恒成立 f(x)=(x-1)(x-m) ∴m一定要>1, f(x)<=0的解為 1<=x<=m, 要使1<=x<=3包含其中 ∴m>=3

數(shù)學(xué)關(guān)于向量的問題思路步驟呦

4，平面向量的所有公式

1、加法向量加法的三角形法則，已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。2、減法AB-AC=CB，這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點(diǎn)、連中點(diǎn)、指被減。-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。3、數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa。當(dāng)λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時，λa=0。用坐標(biāo)表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。4、數(shù)量積已知兩個非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。5、向量積向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點(diǎn)做向量OA=a，向量OB=b，向量積示意圖則∠AOB=θ 叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>。已知兩個非零向量a、b，那么a×b叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即S=|a×b|。6、混合積給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。擴(kuò)展資料物理學(xué)中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。18世紀(jì)中葉之后，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導(dǎo)致了在19世紀(jì)中葉向量力學(xué)的建立。同時，向量概念是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始于萊布尼茲的位置幾何?，F(xiàn)代向量理論是在復(fù)數(shù)的幾何表示這條線索上發(fā)展起來的。18世紀(jì)，由于在一些數(shù)學(xué)的推導(dǎo)中用到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何表示成為人們探討的熱點(diǎn)。哈密頓在做3維復(fù)數(shù)的模擬物的過程中發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。隨后，吉布斯和亥維賽在四元數(shù)基礎(chǔ)上創(chuàng)造了向量分析系統(tǒng)，最終被廣為接受。參考資料來源：搜狗百科-平面向量

5，空間向量的重點(diǎn)難點(diǎn)以及擴(kuò)展知道點(diǎn)

問題　　立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計(jì)算線線角，而如何用向量證明線面平行，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。　以下用向量法求解的簡單常識：　　1、空間一點(diǎn)P位于平面MAB的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等為向量，由于圖不方便做就如此代替，下同）　　2、對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），則四點(diǎn)P、A、B、C共面．　　3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量（k∈R）．　4、利用向量證，就是分別在a，b上取向量．　　5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取，求：的問題．　　6、利用向量求距離就是轉(zhuǎn)化成求向量的模問題：．　　7、利用坐標(biāo)法研究線面關(guān)系或求角和距離，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，正確表達(dá)已知點(diǎn)的坐標(biāo)．編輯本段計(jì)算　　首先該圖形能建坐標(biāo)系　　如果能建　　則先要會求面的法向量　　求面的法向量的方法是　　1。盡量在空中找到與面垂直的向量　　2。如果找不到，那么就設(shè)n=（x,y,z）　　然后因?yàn)榉ㄏ蛄看怪庇诿?　　所以n垂直于面內(nèi)兩相交直線　　可列出兩個方程　　兩個方程，三個未知數(shù) 　　然后根據(jù)計(jì)算方便　　取z（或x或y）等于一個數(shù) 　　然后就求出面的一個法向量了　　會求法向量后　　1。二面角的求法就是求出兩個平面的法向量　　可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數(shù)量積除以兩向量模的乘積：cos<a,b>=|n·n1|/|n| 　　如過在兩面的同一邊可以看到兩向量的箭頭或箭尾相交　　那么二面角就是上面求的兩法向量的夾角的補(bǔ)角　　 2。點(diǎn)到平面的距離就是求出該面的法向量在平面上任取(除被求點(diǎn)在該平面的射影外）一點(diǎn)，　　求出平面外那點(diǎn)和你所取的那點(diǎn)所構(gòu)成的向量記為n1 　　點(diǎn)到平面的距離就是法向量與n1的數(shù)量積的絕對值除以法向量的模即得所求　　設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν 則　　線線平行 l∥m <=> a∥b <=> a=kb；　線面平行 l∥α <=> a⊥μ <=> a·μ=0；　　面面平行 α∥β <=> μ∥ν <=> μ=kν 　　線線垂直 l⊥m <=> a⊥b <=>a·b=0；　　線面垂直 l⊥α <=> a∥μ <=> a=kμ；　　面面垂直 α⊥β <=> μ⊥ν <=> μ·ν=0

6，平面向量的基礎(chǔ)知識具體點(diǎn)

親愛的樓主：相關(guān)概念有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作或AB；向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|；零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作或0。（注意粗體格式，實(shí)數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的，書寫時要在實(shí)數(shù)“0”上加箭頭，以免混淆）；相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；單位向量：模等于1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行于坐標(biāo)軸的單位向量習(xí)慣上分別用i、j表示。相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。[1]3表示方法幾何表示具有方向的線段叫做有向線段，我們以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，則向量可以相應(yīng)地記作。但是，區(qū)別于有向線段，在一般的數(shù)學(xué)研究中，向量是可以平移的。[2]坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得：向量的坐標(biāo)表示a=xi+yj，我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作：a=(x,y)。其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。根據(jù)定義，任取平面上兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)加法向量加法的三角形法則已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。用坐標(biāo)表示時，顯然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差三角形法則：AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連接首尾、指向終點(diǎn)。四邊形法則：已知兩個從同一點(diǎn)A出發(fā)的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點(diǎn)的對角線AD就是向量向量加法的四邊形法則AC、AB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點(diǎn) 對角連。對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律，如：交換律、結(jié)合律。減法AB-AC=CB，這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點(diǎn)、連終點(diǎn)、方向指向被減向量。-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。[2]數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa。當(dāng)λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時，λa=0。用坐標(biāo)表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么滿足如下運(yùn)算性質(zhì)：(λμ)a= λ(μa)(λ + μ)a= λa+ μaλ(a±b) = λa± λb(－λ)a=－(λa) = λ(－a)|λa|=|λ||a|[2]數(shù)量積已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2數(shù)量積具有以下性質(zhì)：a·a=|a|2≥0a·b=b·ak(a·b)=(ka)b=a(kb)a·(b+c)=a·b+a·ca·b=0<=>a⊥ba=kb<=>a//be1·e2=|e1||e2|cosθ[2]向量積向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點(diǎn)做向量OA=a，向量OB=b，向量積示意圖則∠AOB=θ 叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>。已知兩個非零向量a、b，那么a×b叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即S=|a×b|。若a、b不共線，a×b是一個向量，其模是|a×b|=|a||b|sin<a,b>，a×b的方向?yàn)榇怪庇赼和b，且a、b和a×b按次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，則有：向量積具有如下性質(zhì)：a×a=0a‖b<=>a×b=0a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(a+b)×c=a×c+b×c[3]混合積給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合積具有下列性質(zhì)：三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=εV（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時ε=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時ε=-1）上條性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[祝您步步高升期望你的采納，謝謝

親愛的樓主：相關(guān)概念有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作或AB；向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|；零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作或0。（注意粗體格式，實(shí)數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的，書寫時要在實(shí)數(shù)“0”上加箭頭，以免混淆）；相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；單位向量：模等于1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行于坐標(biāo)軸的單位向量習(xí)慣上分別用i、j表示。相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。[1]3表示方法幾何表示具有方向的線段叫做有向線段，我們以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，則向量可以相應(yīng)地記作。但是，區(qū)別于有向線段，在一般的數(shù)學(xué)研究中，向量是可以平移的。[2]坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得：向量的坐標(biāo)表示a=xi+yj，我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作：a=(x,y)。其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。根據(jù)定義，任取平面上兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)加法向量加法的三角形法則已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。用坐標(biāo)表示時，顯然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差三角形法則：AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連接首尾、指向終點(diǎn)。四邊形法則：已知兩個從同一點(diǎn)A出發(fā)的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點(diǎn)的對角線AD就是向量向量加法的四邊形法則AC、AB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點(diǎn) 對角連。對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律，如：交換律、結(jié)合律。減法AB-AC=CB，這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點(diǎn)、連終點(diǎn)、方向指向被減向量。-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。[2]數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa。當(dāng)λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時，λa=0。用坐標(biāo)表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么滿足如下運(yùn)算性質(zhì)：(λμ)a= λ(μa)(λ + μ)a= λa+ μaλ(a±b) = λa± λb(－λ)a=－(λa) = λ(－a)|λa|=|λ||a|[2]數(shù)量積已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2數(shù)量積具有以下性質(zhì)：a·a=|a|2≥0a·b=b·ak(a·b)=(ka)b=a(kb)a·(b+c)=a·b+a·ca·b=0<=>a⊥ba=kb<=>a//be1·e2=|e1||e2|cosθ[2]向量積向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點(diǎn)做向量OA=a，向量OB=b，向量積示意圖則∠AOB=θ 叫做向量a與b的夾角，記作。已知兩個非零向量a、b，那么a×b叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即S=|a×b|。若a、b不共線，a×b是一個向量，其模是|a×b|=|a||b|sin，a×b的方向?yàn)榇怪庇赼和b，且a、b和a×b按次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，則有：向量積具有如下性質(zhì)： a×a=0 a‖b<=>a×b=0 a×b=-b×a (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb) (a+b)×c=a×c+b×c[3] 混合積給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合積具有下列性質(zhì)：三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=εV（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時ε=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時ε=-1）上條性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0 (abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[ 祝您步步高升期望你的采納，謝謝