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二次函數知識點歸納,二次函數知識要點

來源:整理 時間:2022-12-31 03:54:32 編輯:好學習 手機版

1,二次函數知識要點

主要記住 函數y=ax2的性質。拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的關系。拋物線y=ax2+bx+c(a不等于0)的頂點及對稱軸公式。記住了以后就多做題 認識更多的題型 知道怎么解 這樣的話就不怕考試

二次函數知識要點

2,二次函數的所有知識點

一般式Y=ax2+bx+c(a不等于0)a的作用,決定二次函數開口方向和開口大小b的作用,和a一起決定二次函數的對稱軸c的作用,決定截距對稱軸x=-b/2a頂點坐標[-b/2a,(4ac-b2)/4a]頂點式:y=a(x-k)2+h兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)

二次函數的所有知識點

3,關于二次函數的知識點

二次函數知識點總結大全一 二次函數知識點: 1.二次函數的概念:一般地,形如 (是常數,)的函數,叫做二次函數。 這里需要強調:和一元二次方程類似,二次項系數,而可以為零.二次函數的定義域是全體實數. 2. 二次函數的結構特征: ⑴ 等號左邊是函數,右邊是關于自變量的二次式,的最高次數是2. ⑵ 是常數,是二次項系數,是一次項系數,是常數項. 二次函數的基本形式 1. 二次函數基本形式:的性質: 結論:a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。 總結: 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 向上 軸 時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減??;時,有最小值. 向下 軸 時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有最大值.

關于二次函數的知識點

4,二次函數的知識點要具體

二次函數:y=ax^2+bx+c (a,b,c是常數,且a不等于0) a>0開口向上 a<0開口向下 a,b同號,對稱軸在y軸左側,反之,再y軸右側 |x1-x2|=根號下b^2-4ac除以|a| 與y軸交點為(0,c) b^2-4ac>0,ax^2+bx+c=0有兩個不相等的實根 b^2-4ac<0,ax^2+bx+c=0無實根 b^2-4ac=0,ax^2+bx+c=0有兩個相等的實根 對稱軸x=-b/2a 頂點(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 頂點式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 函數向左移動d(d>0)個單位,解析式為y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是減 函數向上移動d(d>0)個單位,解析式為y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是減 當a>0時,開口向上,拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上),并向上無限延伸;當a<0時,開口向下,拋物線在x軸下方(頂點在x軸上),并向下無限延伸。|a|越大,開口越?。唬黙|越小,開口越大. 4.畫拋物線y=ax2時,應先列表,再描點,最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢。 二次函數解析式的幾種形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0). (2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,a≠0). (3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0. 說明:(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點. (2)當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數根x1和 x2存在時,根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數y=ax2+bx+c可轉化為兩根式y=a(x-x1)(x-x2). 求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法 ①配方法:將解析式化為y=a(x-h)2+k的形式,頂點坐標(h,k),對稱軸為直線x=h,若a>0,y有最小值,當x=h時,y最小值=k,若a<0,y有最大值,當x=h時,y最大值=k. ②公式法:直接利用頂點坐標公式(- , ),求其頂點;對稱軸是直線x=- ,若a>0,y有最小值,當x=- 時,y最小值= ,若a<0,y有最大值,當x=- 時,y最大值= . 6.二次函數y=ax2+bx+c的圖像的畫法 因為二次函數的圖像是拋物線,是軸對稱圖形,所以作圖時常用簡化的描點法和五點法,其步驟是: (1)先找出頂點坐標,畫出對稱軸; (2)找出拋物線上關于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等); (3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.

5,有關二次函數的所有知識點

函數單元測試題1.已知一個正比例函數的圖象經過點(-2,4),則這個正比例函數的表達式是 。 2.若函數y= -2xm+2是正比例函數,則m的值是 。 3.一次函數y= -2x+4的圖象與x軸交點坐標是 ,與y軸交點坐標是 ,圖象與坐標軸所圍成的三角形面積是 。 4.如圖:三個正比例函數的圖像分別對應的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,則a、b、c的大小關系是 > > 。 5. 某種儲蓄的月利率為0.15%,現存入1000元,則本息和y(元)與所存月數x之間的函數關系式是 。 6.已知一次函數y=-x-(a-2),當a_____時,函數的圖象與y軸的交點在x軸的下方。 7.寫出同時具備下列兩個條件的一次函數表達式(寫出一個即可) 。 (1)y隨著x的增大而減小。 (2)圖象經過點(1,-3) 8.某商店出售一種瓜子,其售價y(元)與瓜子質量x(千克)之間的關系如下表 質量x(千克) 1 2 3 4 ……  售價y(元) 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 ……   由上表得y與x之間的關系式是 。 9.某人用充值50元的IC卡從A地向B地打長途電話,按通話時間收費,3分鐘內收費2.4元,以后每超過1分鐘加收1元,若此人第一次通話t分鐘(3≤t≤45),則IC卡上所余的費用y(元)與t(分)之間的關系式是 。 10.過點P(0,4),且與直線y=x-3平行的直線解析式為: ;將此直線沿y軸正方向平移2個單位后得到的直線解析式為: 。 *11.如圖,已知A地在B地正南方3千米處,甲乙兩人同時分別從A、B兩地向正北方向勻速直行,他們與A地的距離S(千米)與所行的時間t(小時)之間的函數關系圖象如圖所示的AC和BD給出,當他們行走3小時后,他們之間的距離為 千米. 二.選擇題(每題3分,共24分) 11.下列函數(1)y=πx (2)y=2x-1 (3) (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中,是一次函數的有( ) (A)4個 (B)3個 (C)2個 (D)1個 12.已知點(-4,y1),(2,y2)都在直線上,則y1、 y2大小關系是( ) (A)y1>y2 (B)y1=y2 (C)y1<y2 (D)不能比較 13.已知一次函數y=kx+b,當x增加3時,y減小2,則k的值是( ) (A) (B) (C) (D) 14.一支蠟燭長20厘米,點燃后每小時燃燒5厘米,燃燒時剩下的高度n(厘米)與燃燒時間t(時)的函數關系的圖象是( ) 15.已知一次函數y=kx+b的圖象如圖所示,則k、b的符號是( ) (A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0 16.已知一次函數y=ax+4與y=bx-2的圖象在x軸上相交于同一點,則的值是( ) (A) 4 (B) -2 (C) (D) 17.彈簧的長度y cm與所掛物體的質量x(kg)的關系是一次函數,圖象如右圖所示,則彈簧不掛物體時的長度是( ) (A)9cm (B)10cm (C)10.5cm (D)11cm 18.如圖,l1反映了某公司的銷售收入與銷售量的關系,l2反映了該公司產品的銷售成本與銷售量的關系,當該公司贏利(收入大于成本)時,銷售量( ) (A)小于3噸 (B)大于3噸 (C)小于4噸 (D)大于4噸 解答題(每題10分,共40分) 19.(1)在同一坐標系中,作出函數y1=-2x與的圖象; (2)根據圖象可知:方程組的解為 ; (3)當x 時,y2<0。 20.已知一次函數y=kx+b的圖象經過點(-1,-5),且與正比例函數的圖象相交于點(2,a), 求:(1)a的值。 (2)k、b的值。 (3)這兩個函數圖象與x軸所圍成的三角形面積。 21.一農民帶上若干千克自產的土豆進城出售,為了方便,他帶了一些零錢備用,按市場價售出一些后,又降價出售,售出的土豆千克數與他手中持有的錢數(含備用零錢)的關系,如圖所示,結合圖象回答下列問題。 (1)農民自帶的零錢是多少? (2)試求降價前y與x之間的關系式 (3)由表達式你能求出降價前每千克的土豆價格是多少? (4)降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完,這時他手中的錢(含備用零錢)是26元,試問他一共帶了多少千克土豆? 月份 用水量(m3) 收費(元)  9 5 7.5  10 9
不難,上課能掌握

6,二次函數的知識點歸納

二次函數 I.定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系: y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數。 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 II.二次函數的三種表達式 一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數,a≠0) 頂點式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P(h,k)] 交點式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] 注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像, 可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。 IV.拋物線的性質 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0) 2.拋物線有一個頂點P,坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。 當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。 3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。 當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。 |a|越大,則拋物線的開口越小。 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。 5.常數項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于(0,c) 6.拋物線與x軸交點個數 Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。 Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。 Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。 V.二次函數與一元二次方程 特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2;+bx+c, 當y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程), 即ax^2;+bx+c=0 此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。 函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 答案補充 畫拋物線y=ax2時,應先列表,再描點,最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢。 二次函數解析式的幾種形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0). (2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,a≠0). (3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0. 說明:(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點 答案補充 如果圖像經過原點,并且對稱軸是y軸,則設y=ax^2;如果對稱軸是y軸,但不過原點,則設y=ax^2+k定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系: y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數。 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 x是自變量,y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0) ②頂點式[拋物線的頂點 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進行如下轉化: ①一般式和頂點式的關系 對于二次函數y=ax^2+bx+c,其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點式的關系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

7,二次函數的知識點有哪些

二次函數的知識點1.二次函數的定義:y=ax^2+bx+c(a≠0)2.圖像和性質:二次函數y=ax^2(a>0)的圖像和性質;二次函數y=ax^2(a<0)的圖像和性質;二次函數y=ax^2+bx+c(a>0)的圖像和性質;二次函數y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質.圖像:列對應值描點作圖法; 根據對稱性作圖法.圖像的開口方向,頂點坐標,與坐標軸的交點坐標.性質:對稱性,對稱軸及方程; 單調性,單調區間;最大值,最小值.3.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應用:一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0)頂點式:y=a(x-r)^2+h兩點式:y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換5.常用方法:配方法.待定系數法.........
我們把形如y=ax^2+bx+c(七種a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做二次函數(quadraticfunction),稱a為二次項系數,b為一次項系數,c為常數項.一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數.自變量(通常為x)和因變量(通常為y).右邊是整式,且自變量的最高次數是2.注意,“變量”不同于“未知數”,不能說“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”.未知數只是一個數(具體值未知,但是只取一個值),變量可在一定范圍內任意取值.在方程中適用“未知數”的概念(函數方程、微分方程中是未知函數,但不論是未知數還是未知函數,一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況),但是函數中的字母表示的是變量,意義已經有所不同.從函數的定義也可看出二者的差別.二次函數的解法  二次函數的通式是y=ax^2+bx+c如果知道三個點將三個點的坐標帶入也就是說三個方程解三個未知數如題方程一8=a2+b2+c化簡8=c也就是說c就是函數與Y軸的交點方程二7=a×62+b×6+c化簡7=36a+6b+c方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化簡7=36a-6b+c解出a,b,c就可以了上邊這種是老老實實的解法對(6,7)(-6,7)這兩個坐標可以求出一個對稱軸也就是X=0通過對稱軸公式x=-b/2a也可以算如果知道過x軸的兩個坐標(y=0的兩個坐標的值叫做這個方程的兩個根)也可以用對稱軸公式x=-b/2a算或者使用韋達定理一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)中設兩個根為X1和X2則X1+X2=-b/aX1·X2=c/a一般式  y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),頂點坐標為(-b/2a,4ac-b^2;/4a)頂點式  y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為(h,k)對稱軸為x=h,頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax^2的圖像相同,有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式交點式  y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[僅限于與x軸即y=0有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線,即b^2-4ac≥0]由一般式變為交點式的步驟:∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a∴y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a)=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念:a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向.a>0時,開口方向向上;a0時,函數圖像與x軸有兩個交點.當△=b^2-4ac=0時,函數圖像與x軸有一個交點.當△=b^2-4ac
二次函數:y=ax^2+bx+c (a,b,c是常數,且a不等于0) a>0開口向上 a<0開口向下 a,b同號,對稱軸在y軸左側,反之,再y軸右側 |x1-x2|=根號下b^2-4ac除以|a| 與y軸交點為(0,c) b^2-4ac>0,ax^2+bx+c=0有兩個不相等的實根 b^2-4ac<0,ax^2+bx+c=0無實根 b^2-4ac=0,ax^2+bx+c=0有兩個相等的實根 對稱軸x=-b/2a 頂點(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 頂點式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 函數向左移動d(d>0)個單位,解析式為y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是減 函數向上移動d(d>0)個單位,解析式為y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是減 當a>0時,開口向上,拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上),并向上無限延伸;當a<0時,開口向下,拋物線在x軸下方(頂點在x軸上),并向下無限延伸。|a|越大,開口越小;|a|越小,開口越大. 4.畫拋物線y=ax2時,應先列表,再描點,最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢。 二次函數解析式的幾種形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0). (2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,a≠0). (3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0. 說明:(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點. (2)當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數根x1和 x2存在時,根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數y=ax2+bx+c可轉化為兩根式y=a(x-x1)(x-x2). 求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法 ①配方法:將解析式化為y=a(x-h)2+k的形式,頂點坐標(h,k),對稱軸為直線x=h,若a>0,y有最小值,當x=h時,y最小值=k,若a<0,y有最大值,當x=h時,y最大值=k. ②公式法:直接利用頂點坐標公式(- , ),求其頂點;對稱軸是直線x=- ,若a>0,y有最小值,當x=- 時,y最小值= ,若a<0,y有最大值,當x=- 時,y最大值= . 6.二次函數y=ax2+bx+c的圖像的畫法 因為二次函數的圖像是拋物線,是軸對稱圖形,所以作圖時常用簡化的描點法和五點法,其步驟是: (1)先找出頂點坐標,畫出對稱軸; (2)找出拋物線上關于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等); (3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.
二次函數:y=ax^2 bx c (a.b.c是常數.且a不等于0) a>0開口向上 a<0開口向下 a.b同號.對稱軸在y軸左側.反之.再y軸右側 |x1-x2|=根號下b^2-4ac除以|a| 與y軸交點為(0.c) b^2-4ac>0.ax^2 bx c=0有兩個不相等的實根 b^2-4ac<0.ax^2 bx c=0無實根 b^2-4ac=0.ax^2 bx c=0有兩個相等的實根 對稱軸x=-b/2a 頂點(-b/2a.(4ac-b^2)/4a) 頂點式y=a(x b/2a)^2 (4ac-b^2)/4a 函數向左移動d(d>0)個單位.解析式為y=a(x b/2a d)^2 (4ac-b^2)/4a.向右就是減 函數向上移動d(d>0)個單位.解析式為y=a(x b/2a)^2 (4ac-b^2)/4a d.向下就是減 當a>0時.開口向上.拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上).并向上無限延伸,當a<0時.開口向下.拋物線在x軸下方(頂點在x軸上).并向下無限延伸.|a|越大.開口越小,|a|越小.開口越大. 4.畫拋物線y=ax2時.應先列表.再描點.最后連線.列表選取自變量x值時常以0為中心.選取便于計算.描點的整數值.描點連線時一定要用光滑曲線連接.并注意變化趨勢. 二次函數解析式的幾種形式 (1)一般式:y=ax2 bx c (a.b.c為常數.a≠0). (2)頂點式:y=a(x-h)2 k(a.h.k為常數.a≠0). (3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2).其中x1.x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標.即一元二次方程ax2 bx c=0的兩個根.a≠0. 說明:(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2 k.拋物線的頂點坐標是(h.k).h=0時.拋物線y=ax2 k的頂點在y軸上,當k=0時.拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上,當h=0且k=0時.拋物線y=ax2的頂點在原點. (2)當拋物線y=ax2 bx c與x軸有交點時.即對應二次方程ax2 bx c=0有實數根x1和 x2存在時.根據二次三項式的分解公式ax2 bx c=a(x-x1)(x-x2).二次函數y=ax2 bx c可轉化為兩根式y=a(x-x1)(x-x2). 求拋物線的頂點.對稱軸.最值的方法 ①配方法:將解析式化為y=a(x-h)2 k的形式.頂點坐標(h.k).對稱軸為直線x=h.若a>0.y有最小值.當x=h時.y最小值=k.若a<0.y有最大值.當x=h時.y最大值=k. ②公式法:直接利用頂點坐標公式(- . ).求其頂點,對稱軸是直線x=- .若a>0.y有最小值.當x=- 時.y最小值= .若a<0.y有最大值.當x=- 時.y最大值= . 6.二次函數y=ax2 bx c的圖像的畫法 因為二次函數的圖像是拋物線.是軸對稱圖形.所以作圖時常用簡化的描點法和五點法.其步驟是: (1)先找出頂點坐標.畫出對稱軸, (2)找出拋物線上關于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等), (3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.
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