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1，正比例函數的圖像和性質教案
2，正比例和反比例的區別與聯系教案教學設計
3，正比例函數的圖像和性質教案

1，正比例函數的圖像和性質教案

樓主你好！要解此題首先要了解反比例函數和正比例函數的性質。反比例函數是以原點中心對稱的雙曲線，而正比例函數則是過原點的直線。既然兩函數的一個交點為（3，-4），那么它們的另一個交點必定關于這個交點原點對稱。所以另一個交點坐標為（-3，,4）。題目帶圖嗎？解答過程為：∵此正比例函數和反比例函數交于兩點，其中一點坐標為（3，-4）∴另一點和這點關于原點對稱∴另一點的坐標為（-3，,4題目本來就簡單啊……如果有圖的話還可以寫得更簡單呢……直接，有圖像可得：這兩個交點關于原點對稱，∴另一點的坐標為（-3,4)

正比例函數的圖像和性質教案

2，正比例和反比例的區別與聯系教案教學設計

【教學目標】1.使學生進一步認識成正比例和反比例的量，掌握兩種量是否成比例、成什么比例的思考方法。 2.使學生通過掌握判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例的方法，提高分析、判斷的能力。3.使學生進一步體會比和比例知識的應用價值,感受不同領域的數學內容之間的密切聯系。認識成正比例和反比例的量，使學生感受正、反比例是描述數量關系及其變化規律的又一種有效的數學模型。二、教學建議復習正比例和反比例，重點是它們的意義。教材讓學生回憶判斷兩種量是否成正比例或反比例的方法，重溫正比例關系的特征是兩種相關聯變量的商保持一定，反比例關系的特征是兩種相關聯變量的積保持一定。再通過第7、8題的判斷，進一步鞏固正比例和反比例的概念。第9題復習正比例的圖像，其中汽車行駛的路程和耗油量是否成正比例，要利用圖像找出幾組相對應的數，組成比并求出比值，根據正比例的意義進行判斷。復習比例尺的知識僅編排一道題，利用平面圖的比例尺和量出的圖上距離，計算相應的實際距離。教學第10題要說說這幅平面圖的比例尺和具體含義，從線段比例尺得出數值比例尺，回憶比例尺的意義和算法。要通過解題歸納求實際距離的方法及注意點，還要說說怎樣求圖上距離。三、知識鏈結1.正比例和反比例 (教科書六下 P62 例1、例2 、 P63 例3)2.比例尺 (教科書六下 P48 例6 、 P49例7 )四、教學過程（一）正比例和反比例的意義。1．教師提問：根據正比例和反比例的意義，我們怎樣判斷兩種量是否成正比例或反比例關系？（小組討論后，交流）2.小結：第一，這兩種量是不是相互關聯？其中一種量是否隨著另一種量的變化而變化？第二，這兩種量中每一組對應的數的比值（或積）是否一定。3.舉出一些生活中成正比例或反比例量的例子，在小組里交流。例如：黃瓜的單價一定，數量和總價成正比例。因為，第一，數量和總價這兩種量是相互關聯的，其中一種量總價隨著另一種量數量的變化而變化。第二，這兩種量中每一組對應的數的比值都是單價。單價一定，所以這兩種量是成正比例的量。（二）練一練1．下表中兩種量成比例嗎？為什么？加數 12 2.5 14 24加數 18 27.5 16 6總噸數 42 26 100 24.4余下噸數 41 25 99 23.4因數 3 5 3 20因數 15 9 10 1.5學生說一說每張表中，第一，這兩種量是不是相互關聯？其中一種量是否隨著另一種量的變化而變化？第二，這兩種量中每一組對應的數的比值（或積）是否一定。再作出相應的判斷2．完成教科書95頁“練習與實踐”第7題：讓學生先獨立做，再講評。講評時注意幫助學生解決困難。第8題：引導學生列舉幾組對應的數值再具體分析每組中兩個數的關系后再判斷。第9題：其中第1小題讓學生根據圖中標出的點的位置算出相應的耗油量與行駛路程的比值，再作判斷。（行駛75千米的耗油量是6升。）第2小題讓學生在教材提供的方格圖上描點、連線，再引導學生聯系畫出的圖象判斷汽車在市區行駛時，行駛的路程與耗油量成不成正比例。體會數形結合在解決問題方面的價值。（三）復習比例尺1．教師提問：什么叫比例尺？比例尺有幾種類型？舉例說說它的意思？（重點是線段比例尺）2．舉例說說怎樣求圖上距離？怎樣求實際距離。3．完成教科書95頁“練習與實踐”第10題。（四）評價小結: 學了本課你對所學知識有什么新認識？還有什么問題？

正比例和反比例的區別與聯系教案教學設計

3，正比例函數的圖像和性質教案

專題講座初中數學中函數課堂教學設計函數是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型,也是初中數學里代數領域的重要內容,它在初中數學中具有較強的綜合性.在教學中,學生常常覺得函數抽象深奧,高不可攀,老師也覺得函數難講,講了學生也理解不了,理解了也不會解題.事實果真如此難教又難學嗎?本文就初中函數教學中三個常見問題,談談在教學設計方面一些方法和實踐.一、函數教學中基于數學思想的教學方式的研究數學知識的教學有兩條線：一條是明線,即數學知識；一條是暗線,即數學思想方法.單獨教授知識無益于課本的復讀,利用數學思想進行教學和學習,才能真正實現數學能力的提高.數學思想方法是對數學的知識內容和所使用方法的本質的認識,它是形成數學意識和數學能力的橋梁,是靈活運用數學知識、數學技能和數學方法解決有關問題的靈魂.日本數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一文中曾寫道：學生在初中、高中等所接受的數學知識,因畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學,所以,通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了.然而不管他們從事什么業務工作,唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神,數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發生作用,使他們受益終身.因此,在函數教學中,我們不僅要在教會函數知識上下功夫,而且還應該追求解決問題的“常規方法”——基本函數知識中所蘊含的思想方法,要從數學思想方法的高度進行函數教學.在函數的教學中,應突出“類比”的思想和“數形結合”的思想.1．注重“類比教學”不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性,人們正是利用相似事物具有的這種屬性,通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物,這種認識事物的思維方法就是類比法,利用類比的思想進行教學設計實施教學,可稱為“類比教學”.在函數教學中我們期望的是通過對前面知識的學習方法的傳授,達到對后續知識的學習產生影響,使學生達到舉一反三,觸類旁通的目的,讓學生順利地由“學會”到“會學”,真正實現“教是為了不教”的目的．有經驗的老師都會發現,初中學習的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似.因此采用類比的教學方法不但省時、省力,還有助于學生的理解和應用.是一種既經濟又實效的教學方法.下面我就舉例說明如何采用類比的方法實現函數的教學.首先是正比例函數,它是一次函數特例,也是初中數學中的一種簡單最基本的函數.但是,我們有些教師卻因為正比例函數過于簡單,而輕視.匆匆給出概念,然后應用.等到講到一次函數、反比例函數、二次函數又感到力不從心,學生接受起來概念模糊,性質混亂,解題方法不明確.造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數的基礎作用,我們應該借助正比例函數這個最簡單的函數載體,把函數研究經典流程完整呈現,正所謂“麻雀雖小,五臟俱全”.再學習其他函數時,在此基礎上類比學習,循序漸進,螺旋上升.《正比例函數》教學流程（一）環節一：概念的建立通過對問題的處理用函數y=200x來反映燕鷗的行程與時間的對應規律引入新課.學生自覺思考教師提問,共同得出每個問題的函數關系式.引導學生觀察以上函數關系式的特點得出正比例函數的描述定義及解析式特點.（二）環節二：函數圖象這個環節是教學的重點,由學生先動手按“列表——描點——連線”的過程畫函數y=2x和y=－2x的圖象,相互交流比較然后教師利用多媒體展示畫函數圖象的過程并通過比較使學生正確掌握畫函數圖象的方法.（三）環節三：探究函數性質讓學生觀察函數圖象并引導學生通過比較來歸納正比例函數的性質,這個環節是本課的難點,教師要引導學生從圖象的形狀,從左往右的升降情況,經過的象限及自變量變化時函數值的變化規律.這幾個方面來歸納,最終得出正比例函數的性質.（四）環節四：概念的歸納將觀察、探究出的函數圖象的特征、函數的性質等做出系統的歸納.（五）環節五：概念的應用這個環節主要加深學生對知識點的理解,突出待定系數法的解題方法.從這五個環節的設定上,大家不難看出,我們在研究一次函數、反比例函數、二次函數的過程也是經歷這樣的六個環節,所以用類比的教學方式是在降低學生的學習難度,卻能提高學習質量,而且程度比較好的學生可以嘗試自主學習一次函數、反比例函數、二次函數.歸納：函數探究的內容與方法研究的對象------函數的圖象與性質研究的方法-------畫圖象、分析圖象、探究坐標變化規律、歸納函數性質關注的問題-------圖象的位置、發展趨勢、與坐標軸的交點、函數的增減性……類比進行反比例函數的教學例如17.1.2反比例函數的圖象和性質教學具體教學過程如下：T：正比例函數y=6x的圖象是什么形狀?S1：通過原點的直線（為將要學習的反比例函數圖象作鋪墊）T：那么反比例函數的圖象會是什么形狀呢?我們采用什么法畫呢S2：描點法.（問題一）T：我們學習過的一次函數用幾點法描畫?S3：兩點法.（追問）T：為什么呢?S4：根據兩點確定一條直線.（追問）T：你確定反比例函數的圖象是直線嗎?S5：不能確定.（追問）T：因此我們需要描多少點?S6：盡量多些.正負對稱10—12個點比較合適（問題二）T：描點法畫函數圖象的基本步驟?S7：……T：對于我們如何列表取點?S8：……再次突出描點左右對稱取點的思維過程.教師示范了的圖象畫法,再讓同學們嘗試畫出的圖象（問題三）T：你能比較出和的圖象有什么共同特征?S9：兩只曲線,關于原點對稱（雙曲線）（追問）T結合你的圖象和列表和之間的不同點?S10：在一、三象限,在二、四象限.（追問）T：你能猜想的圖象規律嗎,注意類比正比例函數的圖象規律?S11：當k>0,圖象過一三象限,當K0時,直線從左到右呈“起飛”狀,即呈上升趨勢,經過一、三象限；當k0時,隨著x的增大,y的值怎樣變化呢?（追問）T:⑷如何用符號語言描述呢?（追問）T:⑸你能從解析式出發給出證明嗎?（問題三）T:(6)你能從的圖象中y隨x的變化是如何增減的嗎?（問題四）T:（7）畫出反比例函數圖象,并結合圖象,思考下列問題……在上面的教學設計中,教師借助幾何畫板課件,幫助學生形象直觀的理解了反比例函數圖象的變化規律,發現變化過程中的特殊點的,自然的歸納出反比例函數增減性的性質及自變量的取值范圍,并且通過結合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義.學生不但理解而且記憶,而且途徑全面,更好的感受到函數的三種表示方法的整體一致性.2．用函數來求解方程（組）、不等式問題用函數來求解方程（組）、不等式問題比較難教,因為學生會覺得,用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單,比以前的方法復雜、繁瑣多了,那為什么還要學習呢?如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義,勢必影響學習效率.教材安排用函數的觀點看方程（組）、不等式,一方面是為了加強數學知識間的橫縱聯系,體現函數在初中代數中的統領作用；另一方面從函數的角度,由“數”到“形”的對方程（組）、不等式加深認識,從而站在更高的角度上,提高了學生對舊認識的深度.在教學設計中要注意以下幾點：（1）從“數”與“形”兩方面體現函數與方程（組）、不等式的聯系從“數”來看,就是從函數值看,求方程的解,可轉化為當函數值為零時,求相應自變量的值；求不等式的解集,就是當函數值大于零（或小于零）時,求對應的自變量的取值范圍；求方程組的解,就是當兩個函數的函數值相等時,求對應的自變量和函數值.從“形”來看,就是從函數圖象看,求方程的解,可轉化為求函數圖象與x軸交點的橫坐標；求不等式的解集,可轉化為求在x軸上方（或下方）的圖象對應的自變量取值范圍（或一個函數圖象在另一個函數圖象的上方或下方的部分對應的自變量取值范圍）；求方程組的解集,可轉化為求兩個函數圖象交點的橫縱坐標.（2）抓住數與形的轉換點理解函數與方程（組）、不等式的聯系眾所周知,函數圖象就是點的集合,函數圖象上的每一個點的坐標,就是一組自變量與函數值的對應值,因此數與形的轉換點就是圖象上的點及其坐標.教學中抓住這一轉換點,能有效的促進對函數與方程（組）、不等式的關系的理解.《一次函數與一元一次不等式》教學設計片斷（一）如何解決下面兩個問題,并思考這兩個問題之間有何關系?①解不等式：5x+6>3x+10；②當自變量為x何值時,函數y=2x-4的值大于0?歸納：這兩個問題實際上是同一個問題,問題①可以轉化為問題②求解（二）你能從函數y=2x-4的圖象中,發現問題①的解集嗎?為了促進學生的理解,教師可從以下幾個方面點撥:ⅰ函數值與函數圖象上的點的什么是對應的?函數y=2x-4的圖象上,符合函數值大于0的點在哪一部分?ⅱ這部分點的什么,就是使函數y=2x-4的值大于0的自變量x的取值范圍?歸納：函數y=2x-4圖象在x軸上方的部分所對應的橫坐標的取值范圍,就是問題①得解集（三）函數y=2x-4圖象在x軸下方的部分所對應的橫坐標的取值范圍,是哪個不等式的解集?（四）你能進一步得到“解不等式ax+b>0與“求自變量x在什么范圍內,一次函數函數y=ax+b的值大于0”有什么關系嗎?在上面的教學設計中,教師通過引導學生按照“函數值大于0→圖象上點的縱坐標大于0→位于x軸上方的點→橫坐標的取值范圍→自變量的取值范圍”的思維脈絡,緊扣數與形的結合點,不僅讓學生真正理解了函數與不等式的關系,更重要的是使學生真正做到了用數形結合的方法分析問題.（3）使學生明確學習函數與方程（組）、不等式的意義.有些學生可能覺得,用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單,比以前的方法復雜、繁瑣多了,那為什么還要學習呢?如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義,勢必影響學習效率.因此,在教學中首先應使學生體會到以下兩點：①解方程（組）與解不等式的問題,都可以化歸為函數問題,所以函數統率著方程、不等式；②從函數的角度分析問題的研究方法,對于后續學習有重要作用.3．自變量的取值范圍自變量的取值范圍,是解函數問題的難點和考點.正確求出自變量取值范圍,正確理解問題,并化歸為解不等式或不等式組.這需要學生掌握函數的思想,不等式的實際應用,全面考慮取值的實際意義.容易講的枯燥無趣,最后變成公式化記憶,但學生總是此題會,彼題又錯,效果往往不好.我們看這個教學設計,生動活潑而且理解深刻.八年級7.2認識函數（2）例1等腰三角形ABC的周長為80,底邊BC長為y,腰AB長為x,求：（1）y關于x的函數解析式學生嘗試做題S1：y=80-2xS2：x=(80-y)/2T：題目是y關于x,其中關于相當于等于,所以應該寫成y=80-2xT：把你的學號作為三角形的腰長,請計算相應的底邊y值學生快速的計算教師在黑板上列出相關的值：x=0（教師的學號為0）y=80x=10y=60x=20y=40x=30y=20x=40y=0x=50y=-20x=51y=-22（問題一）T：x表示三角形的腰,y表示三角形的底邊,你看到這組數據有什么話要說么?S1：不能是負與0,所以最后三個不行.（追問1）T：能分享你結論的理由么?S1：y是底邊,需要大于0T：自變量的取值需要符合函數的實際意義這時下面有個同學在悄悄的說,第一個也不行.（追問2）T：能說說你的理由么?S2：因為x是等腰三角形的腰長,也是大于0的.T：自變量的取值必須滿足自變量的實際意義這時,課堂中學生都在用質疑的眼神重新觀察題目,重新思考,這時教師讓學生進行討論.經過一段時間的討論,有學生舉手了.S3：第2、3個也不行（追問3）T：為什么?S2：不能構成三角形（問題二）T：那么x能不能任意取呢?S：不能（問題三）T：那應該從哪幾個方面求x的取值范圍呢?S1：20T：你解釋一下你是怎么想到的?S1：三角形任意兩邊之和大于第三邊T：我們一起來梳理此題求x的取值范圍的方法教師板書：求x的取值范圍（1）自變量x的實際意義x>0T：剛才同學們考慮到了函數y的取值范圍,而y=80-2x,所以還要考慮與x相關的量的意義板書（2）與x相關的量的意義y>0（問題四）T：除了這兩個量還要考慮到什么呢?S：三角形任何兩邊之和大于第三邊板書（3）在實際情境中滿足限制的條件T：等腰三角形只要考慮x+x>y實際問題——解析式——求函數值——沖突——反思——探究——歸納.在這里,是第一次求自變量的取值范圍,而學生對自變量的取值范圍的求解還沒有形成一種常規的思路,所以,老師通過實際的操作（80cm長的紅絲線）,讓學生在動手實踐中了解腰、底邊、底角、頂角、面積等之間的變化情況,然后列出底邊與腰長之間的函數解析式,再給定一個自變量（學生學號作為腰長）求出相應的函數值,一方面復習了函數的有關概念——變量、常量、函數,另一方面也讓學生學習了列簡單問題中的函數解析式,根據函數解析式,已知自變量的值,求相應的函數值,更重要的是通過學號作為三角形的腰長,計算相應的底邊y值,教師通過遞進式提問,讓學生在具體的、特殊的數值中發現矛盾,產生沖突,引起進一步探索的求知欲,提問、追問、反問,學生的解釋、說理,由特殊到一般,最后總結出求自變量的取值范圍的通性通法,有一種水到渠成、一氣呵成的氣勢.4．實際應用問題學習函數的主要目的之一就是在復雜的實際生活中建立有效的函數模型,利用函數的知識解決問題.這也是新課標所倡導的學習,因此新教材大力倡導函數與實際的應用.對于學生來說,實際應用是個難點.在實際應用問題的教學中注意把握以下幾點：（1）切實體現教材設計意圖.教材安排有關應用函數解決實際問題的教學活動,其目的主要有三:①進一步訓練學生的建模能力；②進一步提高學生數形結合分析問題、解決問題的能力；③使學生體會函數是解決生活實際問題的有效模型,進一步提高學生解決實際問題的能力.在教學設計中要體現以上意圖.（2）要根據學生實際.對于學生而言,函數已經覺得很難,再用函數解決實際問題,他們會覺得難上加難,因此在教學中要根據學生實際水平,對于難度較大、綜合性較強的問題要通過有效的設計,分步引導,將復雜問題分解為若干個簡單問題,步步深入,有易到難的尋求答案.例4A地有肥料200噸,B地有肥料300噸,現要把這些肥料全部運往C、D兩地.如果從A地往C、D兩地運送肥料的費用為每噸20元和25元；從B地往C、D兩地運送肥料的費用為每噸15元和24元.現C鄉需要肥料240噸,D鄉需要肥料260噸,怎樣調運總費用最少?最少費用是多少?分析：本題的難點有三處：難點一是如何讓學生想到可用函數解決這類問題；難點二是如何從復雜的數量關系中,列出函數解析式；難點三是如何分析出函數的最小值；難點四是將數學的解還原為實際問題的解決方案.為了突破難點,不妨采用如下的教學設計：①畫出示意圖,幫助學生理解題意②調運費用和哪些量有關?這些量有何關系?這些量是變量還是常量?（通過這個問題,啟發學生發現調用費用是一個變量,并且與四個變量有關,這四個變量相互聯系,其他變量都可以用另一個變量表示,既然是和兩個變量有關的問題,符合函數特征,利用函數的圖形和性質可以確定最小值）③設總運費為y,A地運往C地的肥料量為x,填充下表：y=________+________+________+________④怎樣利用函數解析式求最小運費呢?（教師引導學生發現,求最小運費就是求解析式中函數y的最小值,一方面從解析式中可以發現,y隨x的增大而增大,所以求y的最值需先求x的取值范圍；另一方面也可畫出函數圖象,讓學生通過觀察圖象,發現y的最小值）⑤當調運費用最少時,其他的調運量多少?請你確定出使運費最少的調用方案.歸納總結：ⅰ為什么本題可用函數的方法解決?用函數解決實際問題的一般步驟是什么?ⅱ怎樣列出函數解析式?ⅲ函數的最值可用哪些方法求出?ⅳ在實際問題中,求自變量的取值范圍有何作用?對研究其他函數圖象時,學生的自主分析能力的提高也很有好處.

正比例函數的圖像和性質教案