正弦定理證明，用正弦定理證明三角形的角平分線性質(zhì)

來(lái)源：整理時(shí)間：2023-03-24 01:23:06 編輯：好學(xué)習(xí) 手機(jī)版

本文目錄一覽

1，用正弦定理證明三角形的角平分線性質(zhì)
2，正弦定理的幾種證明方法
3，正弦定理證明角平分線定理
4，向量坐標(biāo)法證明正弦定理
5，正弦定理證明
6，如何用正弦定理證明sinAsinCsin平方B
7，正弦定理的證明方法

1，用正弦定理證明三角形的角平分線性質(zhì)

在三角形abc中，角a的外角平分線交bc的延長(zhǎng)線于d則：bd：cd＝ab：ac 證:∠bad的補(bǔ)角設(shè)為α ∠cad=β ∠d=γ ∠bad=μ 則sinα=sinβ=sinμsinμ/sinγ=sinβ/sinγ 即 bd/ab=cd/ac

用正弦定理證明三角形的角平分線性質(zhì)

2，正弦定理的幾種證明方法

為了對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論能夠充分理解,必須明確它的原理,它的來(lái)龍去脈.只有這樣才能真正地了解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延,從而學(xué)好數(shù)學(xué).正弦定理:在△ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則a/sinA=b/sinB=c/sinC它的證明方法有很多種,本文列舉六種,供同學(xué)們參考.

正弦定理的幾種證明方法

3，正弦定理證明角平分線定理

S1表示⊿ABD的面積S2表示⊿ADC的面積h表AC邊上的高a表示BC邊c表示AB邊b表示BD邊d表示AD邊e表示DC邊則有：S1=0.5dh(由底與高的積的一半得)=0.5bc（正弦定理得）S2=0.5eh(由底與高的積的一半得)=0.5ba（正弦定理得）S1:S2=0.5dh:0.5eh=0.5bc:0.5ba取后一個(gè)等號(hào)并約去相同因子：d:e=c:a即AD:DC=AB:BC

正弦定理證明角平分線定理

4，向量坐標(biāo)法證明正弦定理

作單位向量j⊥ACj(AC+CB)=jABjAC+jCB=jABjCB=jAB|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)即|CB|sinC=|AB|sinAa/sinA=c/sinC其余邊同理

過的頂點(diǎn)a作bc邊上的高，垂足為d．（1）當(dāng)d落在邊bc上時(shí)，與的夾角為，與的夾角為，由于、在方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知即所以即（2）當(dāng)d落在bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得．

5，正弦定理證明

步驟1. 　　在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H 　　 CH=a·sinB 　　CH=b·sinA 　　∴a·sinB=b·sinA 　　得到　　a/sinA=b/sinB 　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC 　　步驟2. 　　證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 　　作直徑BD交⊙O于D. 　　連接DA. 　　因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度　　因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 　　類似可證其余兩個(gè)等式。

只要證a/sinA=b/sinB=c/sinC =2r(圓的半徑）畫圖，再證a/sinA=2r（其實(shí)就是證a/2r=sinA,這是由直角三角形得出來(lái)的）同理得b/sinB=2r c/sinC =2r 即證a/sinA=b/sinB=c/sinC

6，如何用正弦定理證明sinAsinCsin平方B

由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC則b=asinB/sinA，b=csinB/sinC所以b2=acsin2B/(sinAsinC)因?yàn)閎平方=ac 所以1=sin2B/(sinAsinC)所以sin2B=sinAsinC

正弦定理證明方法方法1:用三角形外接圓證明：任意三角形abc,作abc的外接圓o.作直徑bd交⊙o于d. 連接da.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠dab=90度因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠d等于∠c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r類似可證其余兩個(gè)等式。∴a/sina=b/sinb=c/sinc=2r方法2: 用直角三角形證明：在銳角△abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點(diǎn)hch=a·sinb ch=b·sina ∴a·sinb=b·sina 得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中， b/sinb=c/sinc ∴a/sina=b/sinb=c/sinc在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。方法3：用向量證明：記向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0 ∴a/sina =c/sinc (b與i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面積公式證明：在△abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作cd⊥ab垂足為點(diǎn)d，作be⊥ac垂足為點(diǎn)e，則cd=a·sinb，be= c sina,由三角形面積公式得：ab·cd=ac·be即c·a·sinb= b·c sina ∴a/sina=b/sinb 同理可得b/sinb=c/sinc∴a/sina=b/sinb=c/sinc

7，正弦定理的證明方法

原發(fā)布者:博覽知天下正弦定理的幾種證明方法1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有,。由此，得，同理可得，故有.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有，。由此，得，同理可得故有.由(1)(2)可知，在ABC中，成立.從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即.1用知識(shí)的最近生長(zhǎng)點(diǎn)來(lái)證明：實(shí)際應(yīng)用問題中，我們常遇到問題：已知點(diǎn)A，點(diǎn)B之間的距｜AB|，可測(cè)量角A與角B，需要定位點(diǎn)C，即：在如圖△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求邊AC的長(zhǎng)b解：過C作CDAB交AB于D，則推論：同理可證：2.利用三角形面積證明正弦定理已知△ABC,設(shè)BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為D.則Rt△ADB中,,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理,可證S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式兩端同除以ABC,可得.即.3.向量法證明正弦定理(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到由分配律可得.B∴|j

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證

證明方法有四種：1、利用三角形高來(lái)證明正弦定理；2、利用三角形面積來(lái)證明正弦定理；3、向量法證明正弦定理；4、外接圓證明正弦定理；具體證明方面見下圖：

一、在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H ，CH=a·sinB ，CH=b·sinA ，∴a·sinB=b·sinA ，得到a/sinA=b/sinB ，同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 二、證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 作直徑BD交⊙O于D. 連接DA. 因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度。因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。類似可證其余兩個(gè)等式。三、記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0，則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0接著得到正弦定理定義：正弦定理是三角學(xué)中的一個(gè)定理。它指出了三角形三邊、三個(gè)內(nèi)角以及外接圓半徑之間的關(guān)系。正弦定理(Sinetheorem)內(nèi)容：在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑) 意義：正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。也就是任意三角形的邊角關(guān)系。擴(kuò)展余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。余弦定理性質(zhì)：對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c 三角為A,B,C ，則滿足性質(zhì)--a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosCcosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)相關(guān)結(jié)論:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)(4)設(shè)R為三角外接圓半徑，公式可擴(kuò)展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90°時(shí)，所對(duì)的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理，還需要知道它的幾個(gè)變形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a

你先畫個(gè)圖然后做3條高根據(jù)等積法做還可以做外接圓做直徑根據(jù)圓周角相等 3條邊就都能用R及角度的正弦值表示即可