為了使其始終有解，有必要將整數系展開為有理system,有理數集可以用大寫黑正字法符號q來表示.但q并不表示有理數集，q表示有理數集,實數包括有理數和無理數,不是有理的實數叫做無理數,0也是有理數字,有理數和無理數并列,有理號集和有理號是兩個不同的概念,因此有理數集的個數可分為正有理數、負有理數和零。

分數在公元前17世紀被古埃及人使用，中國的九子算術也包含了分數的各種運算。分數的使用是由于除法的需要。除法運算可以看作是求解方程px=q(p≠0)。如果p和q都是整數，方程不一定有整數解。為了使其始終有解，有必要將整數系展開為有理 system。有理數系統的嚴格理論可以通過以下方式建立。在Z×(Z-)即整數有序偶(但第二個二元不等于零)的集合上定義了如下等價關系:設p1，p2Z，q1，q2Z-，若p1q2=p2q1。它叫做(p1，Q2) ~ (P2，q1)。Z×(Z-)關于這種等價關系的等價類叫做有理 number。(p，q)所在的號碼有理記為。一切有理的集合記為q，設整數p對應于(p，1)所屬的等價類，然后將整數集合嵌入到有理 number的集合中。因此，數制有理可以說是由整數制擴展而來的數制。

有理數和無理數并列。有理數的特點:-0/數的小數部分是一個有限或無限循環數。無理數的特點:無理數的小數部分是無限循環數。有理 number是整數和分數的集合，整數也可以看成分母為1的分數。有理 number的小數部分是一個有限或無限循環數。不是有理 number的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限無環數。實數包括有理數和無理數。對有理 number的理解有理 number是整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。正整數和分數統稱為正有理數，負整數和分數統稱為負有理數。因此有理數集的個數可分為正有理數、負有理數和零。由于任何整數或分數都可以轉換成十進循環十進制，反之亦然，有理也可以定義為十進循環十進制。

數學上，有理 number是整數A與非零整數B的比值，例如3/8，一般規律是a/b，所以也叫分數。0也是有理數字。有理 number是整數和分數的集合，整數也可以看成分母為1的分數。有理 number的小數部分是有限的或循環的。不是有理的實數叫做無理數。有理數集可以用大寫黑正字法符號q來表示.但q并不表示有理數集，q表示有理數集。有理號集和有理號是兩個不同的概念。有理 number集合是其元素全部是有理 number的集合，而有理 number是有理 number集合中的全部元素。

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