為了使其始終有解，有必要將整數(shù)系展開為有理system,有理數(shù)集可以用大寫黑正字法符號q來表示.但q并不表示有理數(shù)集，q表示有理數(shù)集,實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù),不是有理的實(shí)數(shù)叫做無理數(shù),0也是有理數(shù)字,有理數(shù)和無理數(shù)并列,有理號集和有理號是兩個不同的概念,因此有理數(shù)集的個數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。

分?jǐn)?shù)在公元前17世紀(jì)被古埃及人使用，中國的九子算術(shù)也包含了分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算。分?jǐn)?shù)的使用是由于除法的需要。除法運(yùn)算可以看作是求解方程px=q(p≠0)。如果p和q都是整數(shù)，方程不一定有整數(shù)解。為了使其始終有解，有必要將整數(shù)系展開為有理 system。有理數(shù)系統(tǒng)的嚴(yán)格理論可以通過以下方式建立。在Z×(Z-)即整數(shù)有序偶(但第二個二元不等于零)的集合上定義了如下等價關(guān)系:設(shè)p1，p2Z，q1，q2Z-，若p1q2=p2q1。它叫做(p1，Q2) ~ (P2，q1)。Z×(Z-)關(guān)于這種等價關(guān)系的等價類叫做有理 number。(p，q)所在的號碼有理記為。一切有理的集合記為q，設(shè)整數(shù)p對應(yīng)于(p，1)所屬的等價類，然后將整數(shù)集合嵌入到有理 number的集合中。因此，數(shù)制有理可以說是由整數(shù)制擴(kuò)展而來的數(shù)制。

有理數(shù)和無理數(shù)并列。有理數(shù)的特點(diǎn):-0/數(shù)的小數(shù)部分是一個有限或無限循環(huán)數(shù)。無理數(shù)的特點(diǎn):無理數(shù)的小數(shù)部分是無限循環(huán)數(shù)。有理 number是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合，整數(shù)也可以看成分母為1的分?jǐn)?shù)。有理 number的小數(shù)部分是一個有限或無限循環(huán)數(shù)。不是有理 number的實(shí)數(shù)稱為無理數(shù)，即無理數(shù)的小數(shù)部分是無限無環(huán)數(shù)。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。對有理 number的理解有理 number是整數(shù)(正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱。正整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為正有理數(shù)，負(fù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為負(fù)有理數(shù)。因此有理數(shù)集的個數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。由于任何整數(shù)或分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)換成十進(jìn)循環(huán)十進(jìn)制，反之亦然，有理也可以定義為十進(jìn)循環(huán)十進(jìn)制。

數(shù)學(xué)上，有理 number是整數(shù)A與非零整數(shù)B的比值，例如3/8，一般規(guī)律是a/b，所以也叫分?jǐn)?shù)。0也是有理數(shù)字。有理 number是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合，整數(shù)也可以看成分母為1的分?jǐn)?shù)。有理 number的小數(shù)部分是有限的或循環(huán)的。不是有理的實(shí)數(shù)叫做無理數(shù)。有理數(shù)集可以用大寫黑正字法符號q來表示.但q并不表示有理數(shù)集，q表示有理數(shù)集。有理號集和有理號是兩個不同的概念。有理 number集合是其元素全部是有理 number的集合，而有理 number是有理 number集合中的全部元素。

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