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本文目錄一覽

1，正弦定理的幾種證明方法
2，正弦定理的證明過程
3，正弦定理證明角平分線定理
4，數學正弦定理證明如何證明
5，向量坐標法證明正弦定理
6，正弦定理證明
7，正弦定理與余弦定理的證明
8，如何用正弦定理證明sinAsinCsin平方B
9，正弦定理的證明方法

1，正弦定理的幾種證明方法

為了對一個數學結論能夠充分理解,必須明確它的原理,它的來龍去脈.只有這樣才能真正地了解數學概念的內涵和外延,從而學好數學.正弦定理:在△ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,則a/sinA=b/sinB=c/sinC它的證明方法有很多種,本文列舉六種,供同學們參考.

正弦定理的幾種證明方法

2，正弦定理的證明過程

證明如下：在三角形的外接圓里證明。用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC(R為三角形外接圓半徑)。角A=角D。得到：2RsinA=BC。同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB。這樣就得到正弦定理了。正弦定理其實是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關系的解析化。從三角學的歷史發展來看，三角函數其實就是有關三角形、圓的性質的解析表達。這樣在悄無聲息中，滲透了學科發展中研究觀點和研究方法的嬗變。這其實是一個推陳出新的過程。

正弦定理的證明過程

3，正弦定理證明角平分線定理

S1表示⊿ABD的面積S2表示⊿ADC的面積h表AC邊上的高a表示BC邊c表示AB邊b表示BD邊d表示AD邊e表示DC邊則有：S1=0.5dh(由底與高的積的一半得)=0.5bc（正弦定理得）S2=0.5eh(由底與高的積的一半得)=0.5ba（正弦定理得）S1:S2=0.5dh:0.5eh=0.5bc:0.5ba取后一個等號并約去相同因子：d:e=c:a即AD:DC=AB:BC

正弦定理證明角平分線定理

4，數學正弦定理證明如何證明

　　正弦定理證明方法方法1 　　用三角形外接圓　　證明：任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 　　作直徑BD交⊙O于D. 連接DA. 　　因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度　　因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 　　類似可證其余兩個等式。　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 　　正弦定理證明方法方法2 　　用直角三角形　　證明：在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H 　　CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 　　在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。　　正弦定理證明方法方法3 　　用三角形面積公式　　證明：在△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足為點D，作BE⊥AC垂足為點E，則CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面積公式得：AB·CD=AC·BE 　　即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC 　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 　　SINc^2=1-COSc^2 　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 　　得證　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 　　證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便　　例如，用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：　　2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑) 　　角A=角D 　　得到：2RsinA=BC 　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 　　這樣就得到正弦定理了

5，向量坐標法證明正弦定理

作單位向量j⊥ACj(AC+CB)=jABjAC+jCB=jABjCB=jAB|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)即|CB|sinC=|AB|sinAa/sinA=c/sinC其余邊同理

過的頂點a作bc邊上的高，垂足為d．（1）當d落在邊bc上時，與的夾角為，與的夾角為，由于、在方向上的射影相等，有數量積的幾何意義可知即所以即（2）當d落在bc的延長線上時，同樣可以證得．

6，正弦定理證明

步驟1. 　　在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H 　　 CH=a·sinB 　　CH=b·sinA 　　∴a·sinB=b·sinA 　　得到　　a/sinA=b/sinB 　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC 　　步驟2. 　　證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 　　作直徑BD交⊙O于D. 　　連接DA. 　　因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度　　因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 　　類似可證其余兩個等式。

只要證a/sinA=b/sinB=c/sinC =2r(圓的半徑）畫圖，再證a/sinA=2r（其實就是證a/2r=sinA,這是由直角三角形得出來的）同理得b/sinB=2r c/sinC =2r 即證a/sinA=b/sinB=c/sinC

7，正弦定理與余弦定理的證明

1.三角形的正弦定理證明：步驟1. 在銳角△ABC中，設三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步驟2. 證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 作直徑BD交⊙O于D. 連接DA. 因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。 2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法：在任意△ABC中做AD⊥BC. ∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

8，如何用正弦定理證明sinAsinCsin平方B

由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC則b=asinB/sinA，b=csinB/sinC所以b2=acsin2B/(sinAsinC)因為b平方=ac 所以1=sin2B/(sinAsinC)所以sin2B=sinAsinC

正弦定理證明方法方法1:用三角形外接圓證明：任意三角形abc,作abc的外接圓o.作直徑bd交⊙o于d. 連接da.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r類似可證其余兩個等式。∴a/sina=b/sinb=c/sinc=2r方法2: 用直角三角形證明：在銳角△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點hch=a·sinb ch=b·sina ∴a·sinb=b·sina 得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中， b/sinb=c/sinc ∴a/sina=b/sinb=c/sinc在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。方法3：用向量證明：記向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0 ∴a/sina =c/sinc (b與i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面積公式證明：在△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作cd⊥ab垂足為點d，作be⊥ac垂足為點e，則cd=a·sinb，be= c sina,由三角形面積公式得：ab·cd=ac·be即c·a·sinb= b·c sina ∴a/sina=b/sinb 同理可得b/sinb=c/sinc∴a/sina=b/sinb=c/sinc

9，正弦定理的證明方法

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證

證明方法有四種：1、利用三角形高來證明正弦定理；2、利用三角形面積來證明正弦定理；3、向量法證明正弦定理；4、外接圓證明正弦定理；具體證明方面見下圖：

原發布者:博覽知天下正弦定理的幾種證明方法1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據銳角三角函數的定義，有,。由此，得，同理可得，故有.從而這個結論在銳角三角形中成立.（2）當ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據銳角三角函數的定義，有，。由此，得，同理可得故有.由(1)(2)可知，在ABC中，成立.從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即.1用知識的最近生長點來證明：實際應用問題中，我們常遇到問題：已知點A，點B之間的距｜AB|，可測量角A與角B，需要定位點C，即：在如圖△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求邊AC的長b解：過C作CDAB交AB于D，則推論：同理可證：2.利用三角形面積證明正弦定理已知△ABC,設BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為D.則Rt△ADB中,,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理,可證S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式兩端同除以ABC,可得.即.3.向量法證明正弦定理(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到由分配律可得.B∴|j

你先畫個圖然后做3條高根據等積法做還可以做外接圓做直徑根據圓周角相等 3條邊就都能用R及角度的正弦值表示即可

一、在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H ，CH=a·sinB ，CH=b·sinA ，∴a·sinB=b·sinA ，得到a/sinA=b/sinB ，同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 二、證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 作直徑BD交⊙O于D. 連接DA. 因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度。因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。類似可證其余兩個等式。三、記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0，則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0接著得到正弦定理定義：正弦定理是三角學中的一個定理。它指出了三角形三邊、三個內角以及外接圓半徑之間的關系。正弦定理(Sinetheorem)內容：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑) 意義：正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。也就是任意三角形的邊角關系。擴展余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。余弦定理性質：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c 三角為A,B,C ，則滿足性質--a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosCcosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)相關結論:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)(4)設R為三角外接圓半徑，公式可擴展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當一內角為90°時，所對的邊為外接圓的直徑。靈活運用正弦定理，還需要知道它的幾個變形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a