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1，最短路問題的全局最短路徑

求圖中所有的最短路徑可以采用Floyd-Warshall算法，算法時間復雜度為O(|V|^3)。如果圖中有負權回路，可以采用Bellman-Ford算法，算法復雜度是O(|V||E|)。但Bellman-ford算法浪費了許多時間做無必要的松弛，可用SPFA算法進行優化，SPFA算法是用隊列進行的優化，優化后時間復雜度為O(k|E|)，其中k為所有頂點進隊的平均次數，可以證明k一般小于等于2，由此可見該優化的效果十分顯著。

最短路問題的全局最短路徑

2，最短路徑的解決方法

用于解決最短路徑問題的算法被稱做“最短路徑算法”，有時被簡稱作“路徑算法”。最常用的路徑算法有：Dijkstra算法SPFA算法\Bellman-Ford算法Floyd算法\Floyd-Warshall算法Johnson算法A*算法所謂單源最短路徑問題是指：已知圖G=（V，E），我們希望找出從某給定的源結點S∈V到V中的每個結點的最短路徑。首先，我們可以發現有這樣一個事實：如果P是G中從vs到vj的最短路，vi是P中的一個點，那么，從vs沿P到vi的路是從vs到vi的最短路。

最短路徑的解決方法

3，最短路徑算法問題

首先，源點是給定的，那么我要經過這三個點，必定經過這三個點的每一個點。這個路徑一定是vs->va->vb->vc,然后，假定a,b,c己經確定，那么考慮其中的路徑，vs->va，從s到a點，與bc無關，所以貪心取最短路p1，再考慮a->b，取最短路p2(從a到b的最短路)，再考慮b->c，取p3。這樣，所得的p(min)=p1+p2+p3。注意只考慮了一種情況，而ijk的排列有3*2*1=6種，需要枚舉6個的每一種情況。算法說明完成。現在來說明時間復雜度的問題。算法有兩種實現方法，1.用dijstra算法，dijstra(u,v)為一函數，傳出u，v之間的最短路，那么容易知道需要執行的為6*3=18次，是常數，時間復雜度O(n^2)2.bellman-ford算法，O(n^3)兩個都行，還能優化。

dijkstra算法，a*算法和d*算法dijkstra算法是典型最短路算法，用于計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但由于它遍歷計算的節點很多，所以效率低。dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。dijkstra一般的表述通常有兩種方式，一種用永久和臨時標號方式，一種是用open, close表方式，drew為了和下面要介紹的 a* 算法和 d* 算法表述一致，這里均采用open,close表的方式。大概過程：創建兩個表，open, close。open表保存所有已生成而未考察的節點，closed表中記錄已訪問過的節點。1．訪問路網中里起始點最近且沒有被檢查過的點，把這個點放入open組中等待檢查。2．從open表中找出距起始點最近的點，找出這個點的所有子節點，把這個點放到close表中。3．遍歷考察這個點的子節點。求出這些子節點距起始點的距離值，放子節點到open表中。4．重復2，3，步。直到open表為空，或找到目標點。提高dijkstra搜索速度的方法很多，常用的有數據結構采用binary heap的方法，和用dijkstra從起始點和終點同時搜索的方法。a*（a-star)算法是一種啟發式算法，是靜態路網中求解最短路最有效的方法。公式表示為： f(n)=g(n)+h(n), 其中f(n) 是節點n從初始點到目標點的估價函數，g(n) 是在狀態空間中從初始節點到n節點的實際代價，h(n)是從n到目標節點最佳路徑的估計代價。保證找到最短路徑（最優解的）條件，關鍵在于估價函數h(n)的選取：估價值h(n)<= n到目標節點的距離實際值，這種情況下，搜索的點數多，搜索范圍大，效率低。但能得到最優解。如果估價值>實際值, 搜索的點數少，搜索范圍小，效率高，但不能保證得到最優解。估價值與實際值越接近，估價函數取得就越好。例如對于幾何路網來說，可以取兩節點間歐幾理德距離（直線距離）做為估價值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；這樣估價函數f在g值一定的情況下，會或多或少的受估價值h的制約，節點距目標點近，h值小，f值相對就小，能保證最短路的搜索向終點的方向進行。明顯優于dijstra算法的毫無無方向的向四周搜索。conditions of heuristicoptimistic (must be less than or equal to the real cost)as close to the real cost as possible主要搜索過程：創建兩個表，open表保存所有已生成而未考察的節點，closed表中記錄已訪問過的節點。遍歷當前節點的各個節點，將n節點放入close中，取n節點的子節點x,->算x的估價值->while(open!=null)從open表中取估價值f最小的節點n;if(n節點==目標節點) break;elseif(x in open) 比較兩個x的估價值f //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值if( x的估價值小于open表的估價值 ) 更新open表中的估價值; //取最小路徑的估價值if(x in close) 比較兩個x的估價值 //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值if( x的估價值小于close表的估價值 ) 更新close表中的估價值; 把x節點放入open //取最小路徑的估價值if(x not in both)求x的估價值; 并將x插入open表中; //還沒有排序}將n節點插入close表中;按照估價值將open表中的節點排序; //實際上是比較open表內節點f的大小，從最小路徑的節點向下進行。}a*算法和dijistra算法的區別在于有無估價值，dijistra算法相當于a*算法中估價值為0的情況。動態路網，最短路算法 d*a* 在靜態路網中非常有效（very efficient for static worlds），但不適于在動態路網，環境如權重等不斷變化的動態環境下。 d*是動態a*（d-star,dynamic a*）卡內及梅隆機器人中心的stentz在1994和1995年兩篇文章提出，主要用于機器人探路。是火星探測器采用的尋路算法。主要方法：1.先用dijstra算法從目標節點g向起始節點搜索。儲存路網中目標點到各個節點的最短路和該位置到目標點的實際值h,k（k為所有變化h之中最小的值,當前為k=h。每個節點包含上一節點到目標點的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。則1到4的最短路為1-2-5-4。原open和close中節點信息保存。2.機器人沿最短路開始移動，在移動的下一節點沒有變化時，無需計算，利用上一步dijstra計算出的最短路信息從出發點向后追述即可，當在y點探測到下一節點x狀態發生改變，如堵塞。機器人首先調整自己在當前位置y到目標點g的實際值h(y)，h(y)=x到y的新權值c(x,y)+x的原實際值h(x).x為下一節點(到目標點方向y->x->g），y是當前點。k值取h值變化前后的最小。3.用a*或其它算法計算，這里假設用a*算法,遍歷y的子節點，點放入close,調整y的子節點a的h值，h(a)=h(y)+y到子節點a的權重c(y,a),比較a點是否存在于open和close中，方法如下：while()從open表中取k值最小的節點y;遍歷y的子節點a,計算a的h值 h(a)=h(y)+y到子節點a的權重c(y,a)if(a in open) 比較兩個a的h值 if( a的h值小于open表a的h值 )有未受影響的最短路經存在break; }if(a in close) 比較兩個a的h值 //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值if( a的h值小于close表的h值 ) 更新close表中a的h值; k值取最小的h值;將a節點放入open表有未受影響的最短路經存在break;}if(a not in both)將a插入open表中; //還沒有排序}放y到close表；open表比較k值大小進行排序；}機器人利用第一步dijstra計算出的最短路信息從a點到目標點的最短路經進行。d*算法在動態環境中尋路非常有效，向目標點移動中，只檢查最短路徑上下一節點或臨近節點的變化情況，如機器人尋路等情況。對于距離遠的最短路徑上發生的變化，則感覺不太適用。

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最短路徑算法問題