第一數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法是怎樣的

來源：整理時間：2023-04-20 09:42:45 編輯：好學(xué)習(xí) 手機版

1，數(shù)學(xué)歸納法是怎樣的

數(shù)學(xué)歸納法：第一步：證明當n=1時命題成立。第二步：假設(shè)當n=

數(shù)學(xué)歸納法是怎樣的

2，數(shù)學(xué)歸納法的由來

已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用遞推關(guān)系巧妙的證明出證明了前n個奇數(shù)的總和是n^2，由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當n屬于所有正整數(shù)時一個表達式成立，這種方法是由下面兩步組成：遞推的基礎(chǔ)：證明當n=1時表達式成立。遞推的依據(jù)：證明如果當n=m時成立，那么當n=m+1時同樣成立。這種方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進行的過程中。

數(shù)學(xué)家為了證明無窮數(shù)列的一些性質(zhì)，總結(jié)出了數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法的由來

3，第一歸納法和第二歸納法有什么區(qū)別

數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，典型地用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用于數(shù)理邏輯和計算機科學(xué)廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結(jié)構(gòu)歸納法。已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 證明了前 n 個奇數(shù)的總和是 n^2。最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當n屬于所有自然數(shù)時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成: 遞推的基礎(chǔ): 證明當n = 1時表達式成立。遞推的依據(jù): 證明如果當n = m時成立，那么當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據(jù)中的“如果”被定義為歸納假設(shè)。不要把整個第二步稱為歸納假設(shè)。) 這個方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：第一張骨牌將要倒下。只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。數(shù)學(xué)歸納法的原理作為自然數(shù)公理，通常是被規(guī)定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理：自然數(shù)集是有序的被使用。

第一歸納法和第二歸納法有什么區(qū)別

4，數(shù)學(xué)大神請進數(shù)學(xué)歸納法問題第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法有

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的論證方法，本文從最小數(shù)原理出發(fā)，對它的第二種形式即第二數(shù)學(xué)歸納法進行粗略的探討數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的論證方法。它們通常所說的“數(shù)學(xué)歸納法”大多是指它的第一種形式而言，本文想從最小數(shù)原理出發(fā)，對它的第二種形式即第二數(shù)學(xué)歸納法進行粗略的探討，旨在加深對數(shù)學(xué)歸納法的認識。】第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果：（1）當n=1時，命題成立；（2）假設(shè)當n≤k（k∈N）時，命題成立，由此可推得當n=k+1時，命題也成立。那么根據(jù)①②可得，命題對于一切正整數(shù)n來說都成立。用反證法證明。假設(shè)命題不是對一切自然數(shù)都成立。命N表示使命題不成立的自然數(shù)所成的集合，顯然N非空，于是，由最小數(shù)原理N中必有最小數(shù)m，那么m≠1，否則將與（1）矛盾。所以m－1是一個自然數(shù)。但m是N中的最小數(shù)，所以m－1能使命題成立。這就是說，命題對于一切≤m－1自然數(shù)都成立，根據(jù)（2）可知，m也能使命題成立，這與m是使命題不成立的自然數(shù)集N中的最小數(shù)矛盾。因此定理獲證。當然，定理2中的（1），也可以換成n等于某一整數(shù)k。對于證明過程的第一個步驟即n=1（或某個整數(shù)a）的情形無需多說，只需要用n=1（或某個整數(shù)a）直接驗證一下，即可斷定欲證之命題的真?zhèn)巍Ｋ躁P(guān)鍵在于第二個步驟，即由n≤k到n=k+1的驗證過程。事實上，我們不難從例1的第二個步驟的論證過程中發(fā)現(xiàn)，證明等式在n=k+1時成立是利用了假設(shè)條件；等式在n=k及n=k－1時均需成立。同樣地，例2也不例外，只是形式的把n=k及n=k－1分別代換成了n=k－1和n=k－2。然而例3就不同了，第二個步驟的論證過程，是把論證命題在n=k+1時的成立問題轉(zhuǎn)化為驗證命題在n=k－2+1時的成立問題。換言之，使命題在n=k+1成立的必要條件是命題在n=k－2+1時成立，根據(jù)1的取值范圍，而命題在n=k－k+1互時成立的實質(zhì)是命題對一切≤k的自然數(shù)n來說都成立。這個條件不是別的，正是第二個步驟中的歸納假設(shè)。以上分析表明，假如論證命在n=k+1時的真?zhèn)螘r，必須以n取不大于k的兩個或兩個以上乃至全部的自然數(shù)時命題的真?zhèn)螢槠湔撟C的依據(jù)，則一般選用第二數(shù)學(xué)歸納法進行論證。之所以這樣，其根本原則在于第二數(shù)學(xué)歸納法的歸納假設(shè)的要求較之第一數(shù)學(xué)歸納法更強，不僅要求命題在n=k時成立，而且還要求命題對于一切小于k的自然數(shù)來說都成立，反過來，能用第一數(shù)學(xué)歸納法來論證的數(shù)學(xué)命題，一定也能用第二數(shù)學(xué)歸納進行證明，這一點是不難理解的。不過一般說來，沒有任何必要這樣做。第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法一樣，也是數(shù)學(xué)歸納法的一種表達形式，而且可以證明第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法是等價的，之所以采用不同的表達形式，旨在更便于我們應(yīng)用。

第一歸納法是第二歸納法的特殊形式。凡事能用第一歸納法的，都可以使用第二歸納法。但是第二歸納法可以證明的，第一歸納法并不一定能證明

其實我也想問這個問題，不過第二數(shù)學(xué)歸納法的條件更強，而且能用第一一定可以用第二。

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一二三