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1，康托定理的內容急

離散數學的集合論中，關于集合的等勢有個康托定理：（1）N R（2）對任意集合A都有A P(A)。

呃再看看別人怎么說的。

康托定理的內容急

2，什么是康托爾伯恩斯坦施羅德定理

康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理（Cantor-Bernstein-Schroeder theorem）是集合論中的一個基本定理，得名于康托爾、Felix Bernstein 和 Ernst Schr?der。該定理陳述說：如果在集合 A 和 B 之間存在單射f : A → B 和 g : B → A，則存在一個雙射 h : A→ B。從勢的角度來看, 這意味著如果 |A| ≤ |B| 并且 |B| ≤ |A|，則 |A| = |B|，即A與B等勢。顯然，這是在基數排序中非常有用的特征。

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什么是康托爾伯恩斯坦施羅德定理

3，康托爾集是有什么性質

在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在1875年發現），是位于一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。　　康托爾三分集的形成過程實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康托爾集。康托爾定理：用P(X)記X的一切子集構成的集，用cardX表示X的勢，康托爾定理如下：cardX<cardP(X)　　.證明：對于空集來說，上述結論顯然成立，所以可設X≠空集。因為P(X)含有X的一切單元素子集，故cardX≤cardP(X),現只需證明兩者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是雙射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那樣一些元素x∈X,x不含于它對應的集f(x)∈P(X),，組成的。因為A∈P(X)，所以必能找到一個元素a∈X,使f(a)=A,這個元素a∈X既不能有a∈A(據A的定義)，也不能有a不∈A（也是根據A的定義）,這與排中律矛盾。得證。

http://baike.baidu.com/view/2894253.htm?fr=ala0_1 這里有的哦

http://baike.baidu.com/view/34267.htm

康托爾三分集是一個不含任何區間的閉集，測度等于零，是不可列的完全集，勢為阿列夫

康托爾集是有什么性質

4，康托悖論是什么內容

引自百度百科：http://baike.baidu.com/view/585879.htm有1個元素的集合其子集有2個，有2個元素的集合其子集共有4個，一般地，有n個元素的集合其子集有2^n個,n個元素的集合其基數為n，而其所有子集組成的集合的基數為2^n ，顯然2^n>n。因此有“康托爾定理”：任意集合（包括無窮集）的冪集的基數大于該任意集合的基數。據康托爾集合理論，任何性質都可以決定一個集合，這樣所有的集合又可以組成一個集合，即“所有集合的集合”（大全集）。顯然，此集合應該是最大的集合了，因此其基數也應是最大的，然而其子集的集合的基數按“康托爾定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”，這就是“康托爾悖論”。

如果一個人真的“返回過去”，并且在其母親懷他之前就殺死了自己的外祖母，那么這個跨時間旅行者本人還會不會存在呢？這個問題很明顯，如果沒有你的外祖母就沒有你的母親，如果沒有你的母親也就沒有你。對于“外祖母悖論”，物理界就產生了平等歷史(也叫平行宇宙)的說法。這一理論中，世界不是只有一個，而是有許多平行的世界存在，按照如今的歷史過程：羅馬帝國時代、大英帝國時代、工業時代、第一次世界大戰、第二次世界大戰、電腦網絡]……如果將整個工業時代去掉，那至此以后的歷史軌跡將會得到巨大的改變，或者兩次世界大戰都不會出現，又或者世界大戰將會在我們的另外一個平行的世界里存在，也就是說另外一個世界如今的我們可能正在遭受著戰爭的陰影。這個時候“外祖母悖論”就有了的解釋，一個人可以回到過去殺死自己的外祖母，但這將導致世界進入兩個不同的軌道，一條中有那個人（原先的軌道），而另一條中沒有那個人。根據多世界的理論，每當記錄下一個觀測結論或者做出一個決定時，就會出現一個道路分支。那當然，世界更寸步的分裂發生在量子層，即使原子中的一個電子從一個能量級變化至另一個能量級，或者說兩個電子自旋的方向不一致也會導致不同的可能性發生而所有不同的可能性分裂出一個宇宙。李連杰的電影《the one》救世主里，就運用了平行宇宙的概念，把宇宙大約分為平行的180個。

5，怎樣證明康托爾定理

Cantor定理有很多，即使和實數相關的也不少，你必須講清楚是哪個，最好的方式就是你把命題敘述一遍，別人才能教你，不要指望有人把所有以Cantor命名的定理都給你解釋一遍。

康托爾定理指的是在集合論中，任何集合a的冪集p(a)的勢嚴格大于a的勢。康托爾定理對于有限集合成立，對于無限集合也同樣成立。下面給出由集合論的創始人康托爾于1891年所做的康托爾定理的證明: 設 f 是從 a 到 a 的冪集p(a)的任何函數。必須證明這個f必定不是滿射的。要如此，展示一個a的子集不在f的像中就足夠了。這個子集是: b=要證明 b 不在 f 的像中，假設 b 在 f 的像中。那么對于某個 y ∈ a，我們有 f(y) = b。現在考慮 y ∈ b 還是 y /∈b?如果 y ∈ b，則 y ∈ f(y)，但是通過 b 的定義，這蘊涵了y /∈b。在另一方面，如果 y /∈b，則 y /∈f(y) 并因此 y∈b。任何方式下都是矛盾。因為 x 在表達式 "x /∈f(x)" 中重復出現，這是對角論證法。下面通過一個實例來詳細的講解一下康托爾定理的證明過程:設自然數集合n=假設n與p(n)之間是存在雙射的,我們將嘗試對n的每個元素都配對上p(n)的元素，使得這兩個集合中沒有元素是未配對的。配對元素的嘗試將是如下樣子的: 1------> 2------> 3------> 4------> 5------->............. 在上述對應中,某些自然數被配對上p(n)中不包含它們的子集。例如，數1被配對上使用這個想法，讓我們建造一個自然數的特殊集合:設d是被配對上不包含它們的子集的所有自然數的集合。通過定義，則冪集 p(n) 必定包含這個集合 d 作為元素。所以d必定被配對上某個自然數。但是這導致了一個問題 : 哪個自然數和d配對呢? 它不能是d的成員，因為d被特殊構造為只包含那些不配對上包含它們的子集的自然數。在另一方面如果配對于d的自然數不包含在d中，則再次通過d的定義，它必定包含在d中. 這個矛盾是因為這個自然數不能同時出現在d的內部和外部。所以，沒有自然數可以配對于 d，而我們的最初假定在n 和p(n)之間存在雙射是有矛盾的。所以n與p(n)之間不存在雙射,而n的勢不能大于p(n)的勢,所以p(n)的勢必大于n的勢. 根據上述康托爾定理的證明思路,下面我們來考慮一下這個命題:康托爾運用一一對應的方法證明了全體偶數集合與全體自然數集合等勢,則根據康托爾定理,偶數集合的冪集合p（m）與自然數集的冪集合p（n）也應該是等勢的。既然n與p（n）之間不存在雙射，則n與偶數集合的冪集合p（m）之間同樣不能存在雙射，否則就會有矛盾,但事實的確是這樣的嗎？首先我們來假設n到偶數集合的冪集合p(m)之間是存在雙射的,也許你會說,那樣也可以同樣運用康托爾的對角論證法來從中推導出來矛盾,但這是不可能的,原因是: 如果同樣是按照康托爾的方法,設d是所有不配對上包含于它們所對應的象的自然數的集合,那么這個集合之中會包含有所有的奇數或一部分偶數,而這個集合不是p(m)中的元素(p(m)之中的元素全都是偶數集合的子集),所以康托爾無法用同樣的反證法來從中推導矛盾. 接下來我們嘗試一下做n到p(m)之間的一一對應: 設n= 設p(m)= 首先,我們將n中的所有偶數與p(m)之中的所有單元素子集做一一對應,p(m)之中的所有單元素子集是: 接下來的第二步,我們將全體奇數排成一個數列:1,3,5,7,9,11.......,運用zfc之中的選擇公理,從這個數列中每相隔一個數取出來一個數重新排成為一個數列,它是:1,5,9,13,17,21.......,這個數列與奇數集合等勢,也與n等勢,我們將其中的一個數列定義為a1,另一個數列定義為a2,接著我們仍然運用選擇公理從a2數列中每相隔一個數取出來一個數重新組成一個數列,將它定義為a3,這個a3同樣與n等勢,然后再從a3數列中每相隔一個數取出來一個數組成一個新的數列a4,接著從a4數列之中再取出來一個數列a5.......,根據zfc之中的無窮公理,我們可以從整個奇數集合之中取出來無窮個無窮數列:a1,a2,a3,a4.......an.......,這無窮個數列合并在一起就是整個的奇數集合.(而且每一個數列皆與n等勢). 接下來的第三步,我們來分析p(m)之中的所有元素,我們可以將p(m)之中的所有元素分為單元素子集,雙元素子集,三元素子集......n元素子集......,首先,我們運用先選擇公理將p(m)之中所有包含有無窮個元素的子集全部找出來,定義為是b1,如:b1之中的所有元素為: b11: b12: b13: ........ 接下來,運用選擇公理將所有p(m)之中的雙元素找出來組成p(m)的一個子集,定義為b2,然后再運用選擇公理將所有三元素全部找出來組成p(m)的子集定義為b3,再將所有四元素全部找出來組成p(m)的子集定義為b4......,這樣,p(m)之中的所有元素就全部的化分成為無窮個子集:b1,b2,b3,b4,b5......bn...... 最后做n到p(m)之間的一一對應: 令a1對應b1,a2對應b2,a3對應b3,a4對應b4......an對應bn....... 因為a1與b1皆為無窮數列,再將兩個數列之中的數做一一對應:a11對應b11,a12對應b12,a13對應b13,a14對應b14.......,其余的所有數列也是如此對應,則:最終的結果就是:n中的所有的元素在p(m)之中都有唯一的一個對應的象,所以它是一個雙射,從而證明自然數集合與偶數集合的冪集合之間存在雙射,兩集合等勢. 但是接下來出現了一個問題:既然康托爾證明了偶數集合與自然數集合等勢,那么偶數集合的冪集合的基數必大于自然數集合的基數,兩集合之間必不能存在雙射,現在的的確確是證明了n到p(m)之間存在雙射,究竟是哪里出錯了? 唯一的可能就只能是:偶數集合與自然數集合不等勢,即:自然數集合的基數不是最小的無窮基數,所以,連續統假設不成立.

6，康托爾定理

閉區間[a,b]上的連續函數f(x)一定在[a,b]上一致連續

康托爾定理指的是在集合論中，任何集合A的冪集P(A)的勢嚴格大于A的勢。康托爾定理對于有限集合成立，對于無限集合也同樣成立。下面給出由集合論的創始人康托爾于1891年所做的康托爾定理的證明: 設 f 是從 A 到 A 的冪集P(A)的任何函數。必須證明這個f必定不是滿射的。要如此，展示一個A的子集不在f的像中就足夠了。這個子集是: B={x ∈A : x /∈ f(x)}(注:符號:/∈代表的是不屬于) 要證明 B 不在 f 的像中，假設 B 在 f 的像中。那么對于某個 y ∈ A，我們有 f(y) = B。現在考慮 y ∈ B 還是 y /∈B?如果 y ∈ B，則 y ∈ f(y)，但是通過 B 的定義，這蘊涵了y /∈B。在另一方面，如果 y /∈B，則 y /∈f(y) 并因此 y∈B。任何方式下都是矛盾。因為 x 在表達式 "x /∈f(x)" 中重復出現，這是對角論證法。下面通過一個實例來詳細的講解一下康托爾定理的證明過程:設自然數集合N={0,1,2,3,4......n......},自然數集合的冪集合P(N)={ 什么是康托爾伯恩斯坦施羅德定理

,{1,2},{2,4,6},{1,3,5,8,9}.......},P(N)中包含所有的的 N 的子集，比如所有偶數的集合 {2,4, 6,...}，還有空集。假設N與P(N)之間是存在雙射的,我們將嘗試對N的每個元素都配對上P(N)的元素，使得這兩個集合中沒有元素是未配對的。配對元素的嘗試將是如下樣子的: 1------>{4,5,8} 2------>{1,2,6,8} 3------>{1,3,5} 4------>{2,3,7,9} 5-------> ............. 在上述對應中,某些自然數被配對上P(N)中不包含它們的子集。例如，數1被配對上 {4, 5,8},數4被配對上{2,3,7,9}。其他自然被配對上包含它們的子集。比如數2被配對上{1, 2, 6,8},數3被配對上{1,3,5},數5被配對上. 使用這個想法，讓我們建造一個自然數的特殊集合:設D是被配對上不包含它們的子集的所有自然數的集合。通過定義，則冪集 P(N) 必定包含這個集合 D 作為元素。所以D必定被配對上某個自然數。但是這導致了一個問題 : 哪個自然數和D配對呢? 它不能是D的成員，因為D被特殊構造為只包含那些不配對上包含它們的子集的自然數。在另一方面如果配對于D的自然數不包含在D中，則再次通過D的定義，它必定包含在D中. 這個矛盾是因為這個自然數不能同時出現在D的內部和外部。所以，沒有自然數可以配對于 D，而我們的最初假定在N 和P(N)之間存在雙射是有矛盾的。所以N與P(N)之間不存在雙射,而N的勢不能大于P(N)的勢,所以P(N)的勢必大于N的勢. 根據上述康托爾定理的證明思路,下面我們來考慮一下這個命題:康托爾運用一一對應的方法證明了全體偶數集合與全體自然數集合等勢,則根據康托爾定理,偶數集合的冪集合P（M）與自然數集的冪集合P（N）也應該是等勢的。既然N與P（N）之間不存在雙射，則N與偶數集合的冪集合P（M）之間同樣不能存在雙射，否則就會有矛盾,但事實的確是這樣的嗎？首先我們來假設N到偶數集合的冪集合P(M)之間是存在雙射的,也許你會說,那樣也可以同樣運用康托爾的對角論證法來從中推導出來矛盾,但這是不可能的,原因是: 如果同樣是按照康托爾的方法,設D是所有不配對上包含于它們所對應的象的自然數的集合,那么這個集合之中會包含有所有的奇數或一部分偶數,而這個集合不是P(M)中的元素(P(M)之中的元素全都是偶數集合的子集),所以康托爾無法用同樣的反證法來從中推導矛盾. 接下來我們嘗試一下做N到P(M)之間的一一對應: 設N={1,2,3,4,5.......n......} 設P(M)={ 康托爾集是有什么性質

,{2,4,6},{4,8,18,28},{6,22}......},P(M)之中包含所有偶數集合的子集. 首先,我們將N中的所有偶數與P(M)之中的所有單元素子集做一一對應,P(M)之中的所有單元素子集是:{ 康托爾集是有什么性質

,,,......},這樣,N中所有的偶數全部與P(M)之中的單元素子集一一對應,則N中余下來的是全體奇數. 接下來的第二步,我們將全體奇數排成一個數列:1,3,5,7,9,11.......,運用ZFC之中的選擇公理,從這個數列中每相隔一個數取出來一個數重新排成為一個數列,它是:1,5,9,13,17,21.......,這個數列與奇數集合等勢,也與N等勢,我們將其中的一個數列定義為a1,另一個數列定義為a2,接著我們仍然運用選擇公理從a2數列中每相隔一個數取出來一個數重新組成一個數列,將它定義為a3,這個a3同樣與N等勢,然后再從a3數列中每相隔一個數取出來一個數組成一個新的數列a4,接著從a4數列之中再取出來一個數列a5.......,根據ZFC之中的無窮公理,我們可以從整個奇數集合之中取出來無窮個無窮數列:a1,a2,a3,a4.......an.......,這無窮個數列合并在一起就是整個的奇數集合.(而且每一個數列皆與N等勢). 接下來的第三步,我們來分析P(M)之中的所有元素,我們可以將P(M)之中的所有元素分為單元素子集,雙元素子集,三元素子集......n元素子集......,首先,我們運用先選擇公理將P(M)之中所有包含有無窮個元素的子集全部找出來,定義為是b1,如:b1之中的所有元素為: b11:{2,4,6,8,.......2n.......} b12:{4,6,12,18,24,.......} b13:{2,24,32,48,58.......} ........ 接下來,運用選擇公理將所有P(M)之中的雙元素找出來組成P(M)的一個子集,定義為b2,然后再運用選擇公理將所有三元素全部找出來組成P(M)的子集定義為b3,再將所有四元素全部找出來組成P(M)的子集定義為b4......,這樣,P(M)之中的所有元素就全部的化分成為無窮個子集:b1,b2,b3,b4,b5......bn...... 最后做N到P(M)之間的一一對應: 令a1對應b1,a2對應b2,a3對應b3,a4對應b4......an對應bn....... 因為a1與b1皆為無窮數列,再將兩個數列之中的數做一一對應:a11對應b11,a12對應b12,a13對應b13,a14對應b14.......,其余的所有數列也是如此對應,則:最終的結果就是:N中的所有的元素在P(M)之中都有唯一的一個對應的象,所以它是一個雙射,從而證明自然數集合與偶數集合的冪集合之間存在雙射,兩集合等勢. 但是接下來出現了一個問題:既然康托爾證明了偶數集合與自然數集合等勢,那么偶數集合的冪集合的基數必大于自然數集合的基數,兩集合之間必不能存在雙射,現在的的確確是證明了N到P(M)之間存在雙射,究竟是哪里出錯了? 唯一的可能就只能是:偶數集合與自然數集合不等勢,即:自然數集合的基數不是最小的無窮基數,所以,連續統假設不成立.