立體幾何八大定理，如何巧記立體幾何定理及判定

來源：整理時間：2023-03-05 23:13:53 編輯：好學(xué)習(xí) 手機版

1，如何巧記立體幾何定理及判定

定理在判定之后比如線面平行判定可簡述為“線線平行，則線面平行”由此建立一個線面平行的模型而定理相反“線面平行，則線線平行”有剛才那個模型想到“兩個平面相交，交線與平行與平面內(nèi)平行另一平面的直線平行”這樣，定理與判定互相轉(zhuǎn)化和諧統(tǒng)一（找個包含了定理和判定的做做，做完就會了）

和圖形聯(lián)系,每個公式都分析一下推理過程,這樣就很好記了

如何巧記立體幾何定理及判定

2，在數(shù)學(xué)立體幾何中有哪些定理與規(guī)律

立體幾何常用的圖形是長方體，正方體，圓柱體，棱柱，棱錐，球面體定理規(guī)律多是用于正立體圖形，正方體就不多說了圓柱體的兩個地面都是圓形，側(cè)面展開是矩形，對于正棱柱，底面與側(cè)面平行，側(cè)面是全等的矩形對于正棱錐一般是正三棱錐和正四棱錐，正三棱錐又叫正4面體，它的4個面是全等的正三角形它的中心既是它外接球面體的球心，又是內(nèi)切球的球心，而正四棱錐，它的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，而不一定是正三角形球面體一般只用到它的表面積公式S=4πR^2 體積公式化V=4/3*πR^3 還有一個多面體歐拉公式 V+F-E=2 V是頂點數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)，E是楞數(shù) 考試的話一般就用到這么多

勾股定理定理多的是了。

在數(shù)學(xué)立體幾何中有哪些定理與規(guī)律

3，立體幾何中的定理

基本概念公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)。公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。公理3：過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1:　經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面1、按是否共面可分為兩類：（1）共面：平行、相交（2）異面：異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。兩異面直線所成的角：范圍為 ( 0°，90° ) esp.空間向量法兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：（1）有且僅有一個公共點——相交直線；（2）沒有公共點—— 平行或異面直線和平面的位置關(guān)系：直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點②直線和平面相交——有且只有一個公共點直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直esp.直線和平面垂直直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個平面的位置關(guān)系：（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點（2）兩個平面的位置關(guān)系：兩個平面平行-----沒有公共點；兩個平面相交-----有一條公共直線。a、平行兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。b、相交二面角（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。esp. 兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥ 兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。Attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關(guān)系）多面體棱柱棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質(zhì)（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形棱錐棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質(zhì)：（1）側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方正棱錐正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：（1）各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。（3）多個特殊的直角三角形esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。Attention： 1、注意建立空間直角坐標系2、空間向量也可在無坐標系的情況下應(yīng)用多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。球attention： 1、球與球面積的區(qū)別2、經(jīng)度（面面角）與緯度（線面角）3、球的表面積及體積公式4、球內(nèi)兩平行平面間距離的多解性

絕對不難，屬于高考中必拿的分。多記憶一些典型的圖形和一些現(xiàn)成的結(jié)論，比如正3棱錐側(cè)面與底面成的角的大小等等，主要對付選擇和填空。對于大題目，稍微復(fù)雜的你就用空間向量吧，以求代證，很方便。雖然寫的可能會比用“直接法”多一些，但由于需要思考的少，做起來未必慢。此時注意要細心！因為寫快了很容易看錯、算錯，而且是很低級的錯誤，做錯了你肯定很懊惱。不果“直接法”也要很熟，防止出現(xiàn)一些建立空間坐標系比較困難或題目設(shè)計成用“直接法”解決的情況。多做些題，把基礎(chǔ)打牢，但別玩題海戰(zhàn)術(shù)。

立幾知識整理一、有關(guān)平行的證明 1、線‖線 ⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷ l1‖l2 l1‖α α‖β l1‖l3 l1‖l2 l1‖l2 l1‖l2 l2‖l3 α∩β=l2 線‖線線‖線線‖面線‖線面‖面線‖線同垂直于一個平面線‖線 2、線‖面 ⑴ ⑵ α‖β a‖α a‖β a‖b 線‖線線‖面面‖面線‖面 3、面‖面 ⑴ ⑵ α‖β α‖β a‖α b‖β 線‖面面‖面同垂直于一直線面‖面二、有關(guān)垂直的證明 1、線⊥線 ⑴ ⑵ 三垂線定理 ⊥射影 ⊥斜線平面內(nèi)直線逆定理 ⊥斜線 ⊥射影（線⊥面線⊥線）（線⊥線線⊥線） 2、線⊥面 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ a‖b α‖β (線⊥線線⊥面) 3、面⊥面（線⊥面面⊥面）三、有關(guān)角的計算 1、異面直線所成角 ⑴定義：（默寫） ⑵范圍：（ ] ⑶求法：作平行線，將異面相交； ⑷（c92）棱長為1的正方體，m、n分別為中點，求am、cn成角的余弦； ⑸（c95）直三棱柱中， ,d1、f1分別為中點，bc=ca=cc1，求bd1 與af1所成角的余弦。 ⑷ ⑸ 2、線、面所成角 ⑴定義（默寫） ⑵范圍： ⑶求法：作垂線，找射影； ⑷（c95）圓柱的軸截面為正方形，e為底面圓周上一點，af⊥de于f； (ⅰ)證af⊥db (ⅱ)如圓柱與三棱錐d—abe體積比為，求直線de與平面abcd所成角； ⑸（c98）斜三棱柱側(cè)面a1acc1⊥底面abc，，bc=2，ac= ， aa1⊥a1c，aa1=a1c (ⅰ)求aa1與底abc所成角大小； (ⅱ)求側(cè)面a1abb1與底abc成二面角大小。 ⑷ ⑸

立體幾何中的定理

4，立體幾何的定理性質(zhì)推論

立幾知識整理一、有關(guān)平行的證明1、線‖線 ⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷ l1‖l2 l1‖α α‖β l1‖l3 l1‖l2 l1‖l2 l1‖l2 l2‖l3 α∩β=l2 線‖線線‖線線‖面線‖線面‖面線‖線同垂直于一個平面線‖線2、線‖面 ⑴ ⑵ α‖β a‖α a‖β a‖b 線‖線線‖面面‖面線‖面3、面‖面 ⑴ ⑵α‖β α‖β a‖α b‖β 線‖面面‖面同垂直于一直線面‖面二、有關(guān)垂直的證明1、線⊥線 ⑴ ⑵ 三垂線定理 ⊥射影 ⊥斜線平面內(nèi)直線逆定理 ⊥斜線 ⊥射影（線⊥面線⊥線）（線⊥線線⊥線）2、線⊥面 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ a‖b α‖β (線⊥線線⊥面)3、面⊥面（線⊥面面⊥面）三、有關(guān)角的計算1、異面直線所成角 ⑴定義：（默寫）⑵范圍：（ ]⑶求法：作平行線，將異面相交；⑷（C92）棱長為1的正方體，M、N分別為中點，求AM、CN成角的余弦；⑸（C95）直三棱柱中， ,D1、F1分別為中點，BC=CA=CC1，求BD1 與AF1所成角的余弦。⑷ ⑸2、線、面所成角 ⑴定義（默寫）⑵范圍： ⑶求法：作垂線，找射影；⑷（C95）圓柱的軸截面為正方形，E為底面圓周上一點，AF⊥DE于F； (Ⅰ)證AF⊥DB (Ⅱ)如圓柱與三棱錐D—ABE體積比為，求直線DE與平面ABCD所成角；⑸（C98）斜三棱柱側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，，BC=2，AC= ， AA1⊥A1C，AA1=A1C (Ⅰ)求AA1與底ABC所成角大小； (Ⅱ)求側(cè)面A1ABB1與底ABC成二面角大小。⑷ ⑸

立幾知識整理一、有關(guān)平行的證明 1、線‖線 ⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷ l1‖l2 l1‖α α‖β l1‖l3 l1‖l2 l1‖l2 l1‖l2 l2‖l3 α∩β=l2 線‖線線‖線線‖面線‖線面‖面線‖線同垂直于一個平面線‖線 2、線‖面 ⑴ ⑵ α‖β a‖α a‖β a‖b 線‖線線‖面面‖面線‖面 3、面‖面 ⑴ ⑵ α‖β α‖β a‖α b‖β 線‖面面‖面同垂直于一直線面‖面二、有關(guān)垂直的證明 1、線⊥線 ⑴ ⑵ 三垂線定理 ⊥射影 ⊥斜線平面內(nèi)直線逆定理 ⊥斜線 ⊥射影（線⊥面線⊥線）（線⊥線線⊥線） 2、線⊥面 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ a‖b α‖β (線⊥線線⊥面) 3、面⊥面（線⊥面面⊥面）三、有關(guān)角的計算 1、異面直線所成角 ⑴定義：（默寫） ⑵范圍：（ ] ⑶求法：作平行線，將異面相交； ⑷（C92）棱長為1的正方體，M、N分別為中點，求AM、CN成角的余弦； ⑸（C95）直三棱柱中， ,D1、F1分別為中點，BC=CA=CC1，求BD1 與AF1所成角的余弦。 ⑷ ⑸ 2、線、面所成角 ⑴定義（默寫） ⑵范圍： ⑶求法：作垂線，找射影； ⑷（C95）圓柱的軸截面為正方形，E為底面圓周上一點，AF⊥DE于F； (Ⅰ)證AF⊥DB (Ⅱ)如圓柱與三棱錐D—ABE體積比為，求直線DE與平面ABCD所成角； ⑸（C98）斜三棱柱側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，，BC=2，AC= ， AA1⊥A1C，AA1=A1C (Ⅰ)求AA1與底ABC所成角大小； (Ⅱ)求側(cè)面A1ABB1與底ABC成二面角大小。 ⑷ ⑸

基本概念公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)。公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。公理3：過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1: 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面 1、按是否共面可分為兩類：（1）共面：平行、相交（2）異面：異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。兩異面直線所成的角：范圍為 ( 0°，90° ) esp.空間向量法兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法 2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：（1）有且僅有一個公共點——相交直線；（2）沒有公共點—— 平行或異面直線和平面的位置關(guān)系：直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 ①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點 ②直線和平面相交——有且只有一個公共點直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。 esp.空間向量法(找平面的法向量) 規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°] 最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 esp.直線和平面垂直直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 ③直線和平面平行——沒有公共點直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個平面的位置關(guān)系：（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點（2）兩個平面的位置關(guān)系：兩個平面平行-----沒有公共點；兩個平面相交-----有一條公共直線。 a、平行兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。 b、相交二面角（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°] （3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥ 兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。 attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關(guān)系）多面體棱柱棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質(zhì) （1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形棱錐棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質(zhì)：（1）側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方正棱錐正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：（1）各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。（3）多個特殊的直角三角形 esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 attention： 1、注意建立空間直角坐標系 2、空間向量也可在無坐標系的情況下應(yīng)用多面體歐拉公式：v（角）+f（面）-e（棱）=2 正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。球 attention： 1、球與球面積的區(qū)別 2、經(jīng)度（面面角）與緯度（線面角） 3、球的表面積及體積公式 4、球內(nèi)兩平行平面間距離的多解性